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相交线与平行线

姓名

一、选择题

1.下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是

2.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是

b.第一次左拐50°，第二次右拐50°。

c.第一次左拐50°，第二次左拐130°。

d.第一次右拐50°，第二次右拐50°。

3.同一平面内的四条直线满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是

4.三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对，交于不同三点时，对顶角有n对，则m与n的关系是

5.如图，若m∥n，∠1=105°，则∠2=

6.下列说法中正确的是

b.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。

c.互相垂直的两条直线一定相交。

d.直线c外一点a与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点a到直线c的距离是3cm。

二、填空题

7.两个角的两边两两互相平行，且一个角的等于另一个角的，则这两个角的度数分别为。

8.猜谜语。

剩下十分钱；两牛相斗。

9.下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是。

摆动的钟摆。在笔直的公路上行驶的汽车。随风摆动的旗帜。摇动的大绳。汽车玻璃上雨刷的运动。从楼顶自由落下的球。

10.如图，直线ab、cd相交于点o，oe⊥ab，o为垂足，如果∠eod=38°，则∠aoc=，∠cob=。

11.如图，ac平分∠dab，∠1=∠2。填空：因为ac平分∠dab，所以∠1=。所以∠2=。所以ab∥。

三、做一做

12.已知三角形abc、点d，过点d作三角形abc平移后的图形。

四、算一算

13.如图，ad是∠eac的平分线，ad∥bc，∠b=30°，你能算出∠ead、∠dac、∠c的度数吗？

五、想一想

14.如图，ef∥ad，∠1=∠2，∠bac=70°。将求∠agd的过程填写完整。

因为ef∥ad，所以∠2=。又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3。所以ab∥。所以∠bac+=180°。又因为∠bac=70°，所以∠agd=。

六、实际应用：

15.结合本班实际，画出班级的简易平面图形，找出其中的垂线和平行线。

16.如图，有两堵墙，要测量地面上所形成的∠aob的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外。如何测量？

附：命题意图及参考答案

命题意图

选择题

1.考查学生对对顶角概念的理解，加深学生对平面图形的认识和感受。

2.考查学生对平行线的条件的理解及形象思维的能力。

3.考查学生对数学知识的理解和思维的深刻性。

4.考查学生对对顶角概念的深刻理解及思维的灵活性。

5.考查学生对平行线性质掌握情况。

6.考查学生对垂直知识的掌握情况，提高学生运用基础知识解决问题的能力。

填空题

7.考查学生的计算能力。

8.本题通过猜谜引发学生对有关数学概念的思考。

9.本题让学生认识平移在现实生活中的应用。

10.本题考查学生的计算能力。

11.本题意在教会学生使用数学语言有条理地表达思考的过程。

三、做一做

12.考查学生对平移作图的掌握情况，提高学生动手动脑能力。

四、算一算

13.本题意在引导学生体会数学知识之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解题能力。

五、想一想

14.本题考查学生对平行线的性质和特征的应用及它们之间的区别，使学生获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力。

六、实际应用

参考答案

1.b

2.b

3.c

4.a

5.d

6.d

7.72°，108°

8.余角，对顶角

9.和

10.52°，128°

11.∠bac，∠bac，cd。

12.略

13.30°，30°，30°

14.∠3，dg，∠agd，110°

15.略

16.延长ao与bo，测∠aob的对顶角。

尊敬的各位评委、亲爱的各位同仁：我说课的内容是：义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册第五章第36页的活动1：你有多少种画平行线的方法。下面我将从以下四个方面对本课时的内容进行说明。一、教材分析：1、地位和作用你有多少种画平行线的方法？这一活动内容是在学完平行线的相关知识的基础上设计的，设计此活动课的目的不仅仅是知识回顾，更重要的是培养学生动手实验操作能力，还可以培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，所以我认为本节数学活动课是一节非常好的教学素材，对今后的数学学习，对知识的渴求及对知识的求索方法都能起到无法估量的作用。2、活动目标：根据对教材的研究和分析，综合学生的认知基础，我确定了下列活动目标：1）理解并掌握两直线平行的条件，掌握两种以上最快捷的画平行线的方法。2）培养学生动手实验，概括总结的能力，养成胆大心细的习惯，发散学生思维，增强学数学、用数学，探索奥妙的欲望。3）鼓励学生大胆探索，科学分析，培养协作意识，建立自信心，体验成功感。4）指导学生探究、应用的能力。3、重难点确定及成因分析：重点：理解两直线平行的条件，掌握两种以上最快捷的画平行线的方法难点：探索新的画两直线平行的方法，并能简单说理。分析：平行线画法不仅锻炼学生实际动手能力，还可以复习本章多学的相关知识，因此，把它确定为本课时的重点。七年级学生自主探究，用已有的知识和能力探索出新的画两直线平行的方法有一定的难度，所以把它作为本课时的难点。二、教法、学法本节课借鉴了美国教育家杜威的“在做中学”的理论及“授之以鱼，不如授之以渔”的思想，我将主要采用“情景激趣，自主探究”法教学，由情景—操作—发散—应用形成，层层推进，有力地调动了学生思维的积极性，把知识的体验过程化为亲身参与，动手实验，运用推广，进行实践的过程。三、活动准备：1、学生自动分组，5-6人一组，自选组长。2、尺规、量角器、铅笔和纸四、活动设计本节课我将按以下四个环节来完成教学情景激趣，导入实验5分钟动手实验，探究创新25分钟联系实际，铸就能力10分钟归纳小结，体验感受5分钟这种分法环环紧扣，层层递进，过渡自然，有利于教法，学法的实施，教学目标的实现，能帮助学生理顺本节知识点，提高效率，活跃课堂气氛，也体现了活动课的特点。情景激趣，导入实验。1、教师演示课件，依次展示铁轨，木工师傅用角尺画平行线，学校跑道、树林，这些平行线的例子，你知道是怎样画出来的吗？通过本节课的学习，你就能明白其中的道理，从而引出课题“你有多少种画平行线的方法”。让学生体验所学内容与现实生活的密切联系，激发学生想画平行线的欲望。2、教师提出问题，什么叫平行线？平行线有哪些性质？怎样判定两直线平行？让学生讨论后推举一人回答。通过回顾平行线的性质，判定方法为探索画平行线的方法作好铺垫。3、教师让学生通过平移三角尺的方法画平行线，学生独立完成，教师对不能独立完成的同学给予指导，并演示课件，展示用平移三角尺的方法画平行线。与后面多种方法画平行线形成一种对比，为下一个活动作好准备。动手实验，探究创新1、教师演示课件，展示李强过一点画一条直线的平行线的过程，提出问题，李强画平行线是通过画什么角相等来得到平行线？让学生有目的地观察，激发学生思考，形成学生的理性认识。2、教师提出问题，你能用其它方法来画平行线吗？要求学生充分利用所学知识，发挥想象力，进行实验操作，小组讨论，体验活动中的各种感受，探究中得到的结论可以是画平行线的方法，也可以是画平行线的说理过程。动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，让学生在亲身体验和探索中经历“做数学”的过程，能够使学生学习的主体性、能动性、独立性，不断生成、张扬、发展和提升。3、请小组代表向同学们展示本组的图形，并说明画平行线的方法及其平行的道理，有的同学通过画内错角相等，同旁内角互补或垂直于同一条直线来构造平行线，甚至有的同学会通过画出相等的外错角或互补的同旁外角的方法来得到平行线，教师给予肯定。通过交流，让学生体验解决问题策略的多样性，同时提高了学生的表达能力，给学生获得成功体验的空间。4、要求学生观察课本“活动1”中张明同学的画法，请学生说出其中的道理，并要求学生根据张明的画法再次产生新的画法，学生讨论后进行交流，教师可演示课件，展示用画菱形的方法得到平行线，并告诉学生在今后学习了四边形的知识后，就能明白其平行的道理。让学生感受到数学知识充满了探索性和创造性，激发了学生的求知欲。5、教师提出问题，不用作图工具，通过折纸能得到平行线吗？要求学生先看书，教师再演示课件，展示折纸过程，学生模仿制作，并简单说理。让学生觉得数学好“玩”，使学生在“玩”中接受数学，运用数学。联系实际，铸就能力1、教师演示课件，依次展示铁轨，木工师傅画平行线，学校跑道、树林，提出问题，它们各自是运用前面哪一种方法画平行线的？学生思考后回答，教师逐一点评。2、教师提出问题，正值插秧季节，你能帮父母在秧田打行距吗？小组讨论后进行交流，教师演示课件，展示插秧图。让学生了解到数学来源于生活，又服务于生活。归纳小结，体验感受课堂小结以学生总结为主，既可培养学生的表达能力，又能提高学生的自信心，我设计了两个问题：1、本节课，你学会了什么？2、本节课，你最深的感受是什么？

课程教材研究所　李海东

七年级下册第5章是“相交线与平行线”，本章主要研究平面内两条直线的位置关系，重点是垂直和平行关系，以及有关平移变换的内容.本章共安排了四个小节以及三个选学内容，教学时间约需13课时，具体分配如下：

5.1相交线　　　　　　　3课时

5.2平行线　　　　　　　3课时

5.3平行线的性质　　　　3课时

5.4平移　　　　　　　　2课时

数学活动

小结2课时

一、教科书内容和课程学习目标

本章知识结构

本章知识结构如下图所示：

教科书内容

平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题，这些内容学生在前两个学段已经有所接触，本章在学生已有知识和经验的基础上，继续研究平面内两条直线的位置关系，首先研究了相交的情形，探究了两直线相交所成的角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角概念，得出了“对顶角相等”的结论；垂直作为两条直线相交的特殊情形，与它有关的概念和结论是学习下一章“平面直角坐标系”的直接基础，本章对垂直的情形进行了专门的研究，探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论，并给出点到直线的距离的概念，为学习在平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础.

对于平面内两条直线平行的位置关系，教科书首先引入一个基本事实，即过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以此为出发点探讨了判定两条直线平行的三种方法和两条直线平行的三条性质，并给出了两条平行线的距离的概念.由于学生已经接触了一些命题，如“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行”“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”“对顶角相等”，教科书对命题以及命题的构成作了简单介绍，使学生初步接触有关形式逻辑概念和术语.

本章在最后一节安排了有关平移变换的内容.从《课程标准》看，图形的变换是“空间与图形”领域中一块重要的内容，通过将图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于在运动变化的过程中发现图形不变的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题、发现几何结论的有效工具.本套教材在不同阶段安排了这些图形变换的内容.平移是一种基本的图形变换，也是本套教材中引进的第一个图形变换.教科书将“平移”安排在本章最后一节，一方面是考虑将其作为平行线的一个应用，另一方面考虑引入平移变换，可以尽早渗透图形变换的思想，使学生尽早接触利用平移分析和解决问题的方法.在“平移”一节中，教科书首先给出几个美丽图案，分析这些图案的共同特点，由此引出图形的平移；接着通过一个“探究”栏目让学生画雪人，体会动手平移的过程；再观察两个相邻的雪人，分析它们之间对应点连线的位置和长短关系，发现平移的基本性质，给出了平移变换的概念；最后学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题.

本章的重点是垂线的概念与平行线的判定和性质，因为这些知识是空间与图形领域的基础知识，在以后的学习中经常要用到，这部分内容掌握不好，将会影响后续内容的学习.学好这部分重点内容的关键是要使学生理解与相交线、平行线有关的角的知识，因为直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的.

对于推理能力的培养，在本章，不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要求“说理”，把它作为探究结论的自然延续.本章这样的地方还是很多的，例如“对顶角相等”性质的得出，由判定两直线平行的方法1，得出方法2、3，由平行线的性质1，得出性质2、3，以及一些例、习题中，等等.对于说理，由于学生还比较陌生，不知道应由什么，根据什么，得出什么，对于说理所用的三段论的形式——由小前提得到结论，以大前提作为理由，一下子也很难适应.因此，逐步深入地让学生学会说理，是本章的一个难点.

解决以上难点的关键是要按照教科书的安排，一步一步地，循序渐进地引入推理论证的内容.在本章，结合正文的相关内容，进行初步的说理训练；在本章最后，学习了命题及命题的构成后，学生也能对说理的理由，三段论的表达形式有进一步的认识，用这样前一步为后一步作准备，逐步提高，慢慢教会的办法克服难点.

二、本章编写特点

内容呈现上充分体现认知过程，给学生提供探索与交流的时间和空间

在内容处理上，教科书加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合.论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重要的作用.对于几何中的结论，教科书多数是先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，然后再对结论进行说明、解释或论证，为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫，在教学时应充分注意这一点.

对于本章中的一些概念、性质、公理和定理，教科书大多是通过“留空”、设问、设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式.例如，对于“对顶角相等”，教科书首先设置一个“讨论”栏目，让学生度量两条相交直线所成的角的大小，通过学生的充分讨论，探究发现对顶角相等这个结论，然后再对这个结论进行了说理，这样就将实验几何与论证几何相结合.再如，平行线性质的处理也是采用的这种处理方式.在本章最后的活动1“你有多少种画平行线的方法？”中，学生通过讨论书中提供的三位同学画平行线的方法，结合本章所学内容和生活经验，不同的学生会得到不同的画平行线的方法.通过这样的“数学活动”培养学生的探究能力和创新意识.

注意加强直观性

密切联系实际，体现知识的形成和应用过程，以实际问题为出发点和归宿是编写这套教科书特别关注的问题.几何图形是从实际中抽象出来的，所以几何图形的定义、性质都是比较抽象的，这一点对于学生来说有一定的困难.为了减少学生学习的困难，在编写这一章时，我们注意根据七年级学生认知特点，加强了直观教学，使教学内容尽量贴近学生的生活.许多概念、性质、定理的引入都是从解决实际问题的需要来出发的；在教材编写时，也注意为利用实物、模型、计算机等多种教学手段提供材料，让学生在运动变化中寻找图形的不变的位置关系和数量关系，从而有利于发现图形的性质.在研究有关数学概念、性质后，再注意把所学知识应用到实际生活中.在教学时，也应注意从实际问题出发，引导学生自己多观察、多动手、勤思考，结合适合当地特点的一些问题，抽象出隐含在这些实际问题中的数学问题，引入本章要学习的相关内容，通过对数学问题的研究，学习有关的数学概念和方法，并利用所学知识解决更多的实际问题，体现具体——抽象——具体的过程，提高学生学习数学的兴趣，培养他们应用所学知识解决问题的能力.

循序渐进地安排技能训练

这一章的教学，除了要学习一些数学知识以外，还担负着一些技能和能力的培养和训练的任务.这既有几何语言、图形方面的，也有说理、推理方面的.这些内容，都是进一步学习空间与图形知识的基础.教科书在这方面也是作了精心安排，在教学时应当注意按照由简单到复杂，由模仿到独立操作的顺序，逐步提高要求.

例如，在这一章开始，要求学生进行说理，处于为今后进行推理论证的准备阶段.因此，也就要求学生能用较准确的语言表达学过的概念、性质，学会一些简单的、基本的推理语言，要能区分命题的条件和结论等，为能用文字语言准确表达说理过程，也为今后进行推理论证打下一个良好的基础.

再如，承接“图形认识初步”，本章仍旧要重视文字语言、符号语言、图象语言等几种不同语言的相互转化，注意“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程，使抽象和直观结合起来，在图形的基础上发展其他语言.在教科书中也注意了由不同方向对图形、文字和符号间转化的设计安排，安排了这样一些练习、习题，教学时也要注意这方面的训练.本章也要求学生能用各种绘图工具画出垂线、平行线，平移一个简单的图形等，教科书还安排了“你有多少画平行线的方法”的数学活动，通过这些内容，让学生较快适应，把几何图形与语句表示、符号表示联系起来，使学生能从多角度表示图形、认识图形、把握图形.

三、几个值得关注的问题

有意识地培养学生有条理的思考和表达

对于推理能力的培养，本套教科书按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排.本章对于推理的要求还处在入门阶段，只是结合知识的学习，识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”.例如，在推导“对顶角相等”这个结论时，采用了用语言叙述的方式进行“说理”，在推导平行线的性质时，教科书展示了一个简单推理的过程.各个过程中，都没有采用“已知……，求证……，证明”的形式逻辑格式，而是用说理的方式展示推理的过程，但强调让学生经历推理的过程，感受推理论证的作用，使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续.因此教学中要注意准确把握教学要求，对推理能力的培养要有一个循序渐进逐步提高的过程，要鼓励学生用自己的语言说明理由，在书写格式上不作统一要求，可以用自然语言，可以结合图形进行说明，可以用箭头等形式表明自己的思路，也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程，等等.总之，要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写，不能操之过急.

另外，说理、推理的内容是本章的教学难点，教科书中注意对学生循序渐进地进行训练.由于学生的认知能力有差别，基础也不同，所以教学中一方面要按要求有计划地组织好教学，另一方面要注意因材施教.对于学习有困难的学生，一定要一步一步地使每阶段的训练到位，不要急于求成；对接受能力强的学生，要及时调整教学要求，保护他们学习的积极性，满足他们的求知欲，对于教科书中的一些要求说明理由的习题，也可以要求他们把推理的过程用简单的符号化的语言表示出来.

注意突出重点内容

这一章的内容比较丰富，除了要研究平面内两条直线间的位置关系，还包括平移变换的内容以及一些命题的内容，由于教学时间有限，为了使学生集中精力掌握最基础的知识，并形成一定的能力，教学时应注意突出重点.例如，研究两条直线的位置关系时，重点是要研究一些图形的性质，如对顶角相等、垂线的性质，以及平行线的判定和性质等，对于一些定义，不要作严格的形式化的要求.教科书中邻补角、对顶角的概念都是结合图形，分析其位置关系给出的；垂直、平行的概念则是承接了前面学段学过的概念.再如，对于命题、定理、证明等概念，教科书是分阶段、分散安排的.在本章，要求学生在学过一些命题的基础上，了解命题的概念以及命题的构成，知道一个命题可能是正确的，也可能是错误的，不要在这里过多要求.

由于内容较多，每课教学时都要突出一两个重点，课堂活动也要围绕这一两个重点进行.例如，讲5.1.1相交线这一小节时，要抓住“对顶角相等”这个重点.实际上，教科书“讨论”栏目设计的表格在教学时可以逐步呈现，由两条直线相交的图形，让学生寻找其中所成的角，对它们进行分类，根据位置关系对它们“命名”，然后寻找它们的大小关系，最后再进行说理.在课堂上识图、画图、语言训练、作练习都可以主要围绕找“对顶角”或应用“对顶角相等”进行.

处理好平移内容

从《标准》看，图形的变换是“空间与图形”领域中一块重要的内容，图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转和图形的相似等.通过对图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于发现图形的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题的有效的工具.平移是一种基本的图形变换，在本章第4节安排了平移变换的内容.

在平移一节中，教科书首先从观察几个由图形的平移得到的美丽图案入手，分析这些图案的共同特点，发现每一个图案都是由一个图形经过平行移动得到的.通过探索平移前后两个图形之间的关系，发现“两个图形大小形状完全相同”“新图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点”“各组对应点间的连线平行且相等”等平移的基本性质，并学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题.

对于平移的内容，本章只是一个初步认识，本册书在“平面直角坐标系”中还安排了“用坐标表示平移”的内容，从数的角度用代数的方法研究平移变换，将平移变换从数和形两方面统一起来，使学生对平移变换有更深刻的了解，为今后使用平移变换发现几何结论，研究几何问题打下基础；另外，在八年级下册“四边形”一章，还结合平行四边形的判定和性质对平移过程中“对应点的连线平行且相等”的性质作了理论的推导；在九年级上册“旋转”中，还要求学生能综合应用平移、轴对称、旋转等变换进行图案设计，认识和欣赏它们在现实生活的应用.这样处理平移内容，能使学生从感性到理性、从静态到动态逐步加深对平移的理解，有助于他们逐步掌握平移的内容.在教学时要注意教科书的安排，完成好这部分内容的教学.

重视信息技术的应用

信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具.利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来.许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形的运动变化的过程中去发现其中的不变的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质，这可以使得许多传统的数学教学做不到或做不好的事情变得容易起来.

在这一章，信息技术工具是大有用武之地的，教科书还专门安排了一个“信息技术应用”的选学栏目，对教科书中一些可以应用信息技术的地方进行了举例说明.例如，我们随意画两条相交直线，就得到了一个相交线的“模型”，这个模型比我们用木条做成的模型又进一步，它不仅可以随意转动，通过寻找转动过程中角的不变的位置关系得到邻补角和对顶角；还可以利用软件的测量功能，测出这些角的大小，再观察转动过程中角的大小的变化，去发现邻补角、特别是对顶角之间的数量关系，这是传统方法所不能做到的，也正是信息技术工具的优势所在.其他探索垂线的性质、探索平行线的性质和判定方法也是类似的.因此，有条件的学校，应尽可能多的使用计算机或图形计算器等信息技术工具，帮助学生的数学学习

教材遵循了先易后难的顺序,在学习图形的大小关系(线段与角的计算)后,进一步研究图形的位置关系和位置与大小的相互关系.

相交线与平行线可以说是整个初中几何学习的必经之路.因此在教学中始终要抓住"位置"与"大小"两方面的问题.位置对大小的影响作用;大小对位置的决定作用.

例如:两直线被第三直线所截,同位角的大小关系决定了直线的位置关系;反过来,两条直线平行时也决定了同位角相等.教学中,要让学生明白这种互相制约关系,体会几何学习的内容和方法.

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