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二元一次方程组

教学建议

一、重点、难点分析

本节教学的重点是使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解.难点是了解的解的含义.这里困难在于从1个数值变成了2个数值，而且这2个数值合在一起，才算作的解.用大括号来表示的解，可以使学生从形式上克服理解的困难；而讲清问题中已含有两个互相联系着的未知数，把它们的值都写出来才是问题的解答.这是克服这一难点的关键所在.

二、知识结构

本小节通过求两个未知数的实际问题，先应用学生以学过的一元一次方程知识去解决，然后尝试设两个未知数，根据题目中的两个条件列出两个方程，从而引入二元一次方程、以及的解等概念.

三、教法建议

1.教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念.

2.通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及.

3.通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题.

4.为了减少学习上的困难，使学生学到最基本、最实用的知识，教学中不宜介绍相依方程组如

和矛盾方程组如

等概念，也不要使方程组中任何一个方程的未知数的系数全部为0当然，作为特例，出现类似

之类的是可以的，这时可以告诉学生，方程中未知数的系数为0，方程也看作一个二元一次方程.

教学设计示例

一、素质教育目标

知识教学点

1.了解二元一次方程、和它的解的概念.

2.会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.

3.会检验一对数值是不是某个的解.

能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力和计算能力.

德育渗透点

培养学生严格认真的学习态度.

美育渗透点

通过本节的学习，渗透方程组的解必须满足方程组中的每一个方程恒等的数学美，激发学生探究数学奥秘的兴趣和激情.

二、学法引导

1.教学方法：讨论法、练习法、尝试指导法.

2.学生学法：理解二元一次方程和及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础.

三、重点·难点·疑点及解决办法

重点

使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解.

难点

了解的解的含义.

疑点及解决办法

检验一对未知数的值是否为某个的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点.在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了.

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念.

2.通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及.

3.通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题.

七、教学步骤

明确目标

本节课的教学目标为理解二元一次方程及的概念并会判断一对未知数的值是否为的解.

整体感知

由复习方程及其解，导入二元一次方程及的概念，并会判断它们；同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔；最后学会检验解的问题.

教学过程

1.创设情境、复习导入

什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？

回答老师提出的问题并自由举例.

【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学习二元一次方程做铺垫.

列一元一次方程求解.

香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：思考，设未知数，回答.

设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，

根据题意，得

解这个方程，得

答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克.

上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？

设买了香蕉千克，买了苹果千克，根据题意可得两个方程

观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？

观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点.

方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程.

这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识—.

【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解.

2.探索新知，讲授新课

关于二元一次方程的教学.

我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习.

练习一

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由.

①②③

④⑤⑥

练习二

分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程.

学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2.

【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解.

练习三

课本第6页练习1.

提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数每取一个值，另一个未知数就有惟一的值与它相对应.

练习四

填表，使上下每对、的值满足方程.

－2

0

0.4

2

－1

0

3

师生共同总结方法：已知，求，用含有的代数式表示，为；已知，求，用含有的代数式表示，为.

【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解奠定了基础.

关于的教学.

上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程.因此，把这两个方程合在一起，写成

这两个方程合在一起，就组成了一个.

方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起.

练习五

已知、都是未知数，判别下列方程组是否为？

①②

③④

【教法说明】练习五有助于学生理解的概念，目的是避免学生对形成错误的认识.

对于前面的问题，列要比列一元一次方程容易些.根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即，，这里，既满足方程①，又满足方程②，我们说

是

的解.

学生活动：尝试总结的解的概念，思考后自由发言.

教师纠正、指导后板书：

使的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做的解.

例题判断是不是的解.

学生活动：口答例题.

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯.

3.尝试反馈，巩固知识

练习：课本第6页第2题目的：突出本节课的重点.

课本第7页第1题目的：培养学生计算的准确性.

4.变式训练，培养能力

练习：P84.

【教法说明】使学生更深刻地理解的解的概念，并为解打下基础.

P8B组1.

【教法说明】为列找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力.

总结、扩展

1.让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获.

2.教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个的解.

3.中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题.

八、布置作业

必做题：P73.

选做题：P8B组2.

预习：课本第9～13页.

参考答案

略.

8.1二元一次方程组

教学目标1、弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解；

2、学会用类比的方法迁移知识；体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受数学的乐趣.

教学难点弄懂二元一次方程组解的含义。

知识重点二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。

教学过程设计理念

创设情境

导入课题幻灯：古老的“鸡兔同笼问题”

“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡、兔各几何？”

师：这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣.怎样来解答这个问题呢？

学生思考自行解答，教师巡视.最后，在学生动手动脑的基础上，班级集体讨论给出各种解决方案.

方案一：算术方法

把兔子都看成鸡，则多出94－35×2=24只脚，每只兔子比鸡多出两只脚，故，由此可先求出兔子有24÷2=12只，

进而鸡有35－12=23只.

或类似的也可以先求鸡的数量.

35×4－94=46，46÷2＝23

方案二：列一元一次方程解

设有x只鸡，则有只兔.根据题意，得

2x十4(35－x)=94.

教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念，“元”是指什么？“次”是指什么？以古老的数学名题引入，可以增强学生的民族自豪感，激发学好数学的感情

能用方案本来解的学生算术功底比较好，应给予高度赞赏.

方案二既是对一元一次方程的复习与巩固，又为二元一次方程组的引出做好铺垫在。

分析问题讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念

师：上面的问题可以用一元一次方程来解，还有其他方法吗？

方案三：设有x只鸡，y只兔，依题意得

x＋y=35，①

2x＋4y=94.②

针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：

、你能给这两个方程起个名字吗？

为什么叫二元一次方程呢？

什么样的方程叫二元一次方程呢？

结合学生的回答，教师板书定义1：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程.

师：在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①②两个方程.把①②两个二元一次方程结合在一起，用花括号来连接.我们也给它起个名字，叫什么好呢？

定义2：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念

探究活动：满足x＋y=35的值有哪些？请填入表中：

x

…

y

…

教师启发：

若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？

你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？

它与一元一次方程的解有什么区别？

定义3：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解，记为

师：那么什么是二元一次方程组的解呢？

学生讨论达成共识：二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程.即：既是方程①又是方程②的解.

定义4：二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.

比如：从方案一，我们知道，x=23，y=12使方程组中每一个方程成立.所以我们把x=23，y=12叫做

的解记为：

注意：二元一次方程组的解是成对出现的，用花括号来连接，表示“且”.

议一议：将上述“鸡兔同笼”问题的三种方案进行优劣对比，你有哪些想法呢？

引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与奚比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念

通过探究活动得出结论：

1、二元一次方程的解是成对出现的；2、二元一次方程的解有无

数多个.这与一元一次方程有显

著的区别.

通过对比，让学生体脸到从算术方法到代数方法是一种进步.而当我们遇到求多个未知量，而且数量关系较复杂时，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，它大大减轻了我们的思维负担.

巩固新知例1下列各对数值中是二元一次方程x＋2y=2的解是

abcd

解法分析：

将a、b,c,d中各对数值逐一代人方程检验是否满足方程，选a,b,c.

变式：其中是二元一次方程组解是()

解法分析：

在例1的基础上，进一步检验a、b、c中各对值是否满足方程2x＋y=－2，使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程.

例2

解答过程略

本例先检验二元一次方程的解，再检脸二元一次方程组的解，符合从简单到复杂的认知规律.使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念.

目的在于培养分析等量关系并列方程组的能力；培养观察估算能力；使学生进一步熟悉二元一次方程组及其解的概

小结提高在学生畅所欲言话收获的基础上，通过老师进行补充的方式进行.

本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？

发挥学生主体意识，培养学生归纳小结的能力。

布置作业1、必做题：教科书102页习题8.1第1、2题.

2、选做题：教科书102页习题8.1第3题.

3、备选题：

根据下列语句，列出二元一次方程：

①甲数的一半与乙数的的和为11

②甲数和乙数的2倍的差为17

方程x＋2y=7在自然数范围内的解

a有无数个b有一个c有两个d有三个

若mx＋y=1是关于x,y的二元一次方程，那么m

的值应是

a.m≠ob.m=0c.m是正有理数d.m是负有理数

李平和张力从学校同时出发到郊区某公园游玩，两人从出发到回来所用的时间相同，但是，李平游玩的时间是张力骑车时间的4倍，而张力游玩的时间是李平骑车时间的5倍，请问他俩人中谁骑车的速度快？

不同层次的学生根据自身的需要选择不同的备用题，实现不同的人在数学上获得不同的发展的教学理念.

本课教育评注

本课的设计是从提出“鸡兔同笼”的求解问题人手，激发学生的学习兴趣与民族自豪感，让学生经历从不同角度寻求不同的解决方法的过程，体现出解决问题策略的多样性，激发了学生的学习兴趣.以算术的方法衬托出方程解法的优越性，以列一元一次方程解法衬托出列二元一次方程组解法的优越性，更使学生感到二元一次方程组的引人顺理成章.

本课内容是在学生已经掌握了一元一次方程的基础知识，初步具有提取数学信息、解决实际问题的能力后展开的.根据建构主义理念，学生完全有能力利用自己原有的知识去同化新知识，主动地将其纳人自己的知识体系中.所以本课的通篇整体设计，突出了一元一次方程的样板作用，让学生在类比中，主动迁移知识，建立起新的概念.使得基础知识和基本技能在学生头脑中留下较深刻的印象是很有必要的。

教学建议

一、重点、难点分析

本节教学的重点是使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解.难点是了解的解的含义.这里困难在于从1个数值变成了2个数值，而且这2个数值合在一起，才算作的解.用大括号来表示的解，可以使学生从形式上克服理解的困难；而讲清问题中已含有两个互相联系着的未知数，把它们的值都写出来才是问题的解答.这是克服这一难点的关键所在.

二、知识结构

本小节通过求两个未知数的实际问题，先应用学生以学过的一元一次方程知识去解决，然后尝试设两个未知数，根据题目中的两个条件列出两个方程，从而引入二元一次方程、以及的解等概念.

三、教法建议

1.教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念.

2.通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及.

3.通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题.

4.为了减少学习上的困难，使学生学到最基本、最实用的知识，教学中不宜介绍相依方程组如

和矛盾方程组如

等概念，也不要使方程组中任何一个方程的未知数的系数全部为0当然，作为特例，出现类似

之类的是可以的，这时可以告诉学生，方程中未知数的系数为0，方程也看作一个二元一次方程.

教学设计示例

一、素质教育目标

知识教学点

1.了解二元一次方程、和它的解的概念.

2.会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.

3.会检验一对数值是不是某个的解.

能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力和计算能力.

德育渗透点

培养学生严格认真的学习态度.

美育渗透点

通过本节的学习，渗透方程组的解必须满足方程组中的每一个方程恒等的数学美，激发学生探究数学奥秘的兴趣和激情.

二、学法引导

1.教学方法：讨论法、练习法、尝试指导法.

2.学生学法：理解二元一次方程和及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础.

三、重点·难点·疑点及解决办法

重点

使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解.

难点

了解的解的含义.

疑点及解决办法

检验一对未知数的值是否为某个的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点.在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了.

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念.

2.通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及.

3.通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题.

七、教学步骤

明确目标

本节课的教学目标为理解二元一次方程及的概念并会判断一对未知数的值是否为的解.

整体感知

由复习方程及其解，导入二元一次方程及的概念，并会判断它们；同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔；最后学会检验解的问题.

教学过程

1.创设情境、复习导入

什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？

回答老师提出的问题并自由举例.

【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学习二元一次方程做铺垫.

列一元一次方程求解.

香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：思考，设未知数，回答.

设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，

根据题意，得

解这个方程，得

答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克.

上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？

设买了香蕉千克，买了苹果千克，根据题意可得两个方程

观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？

观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点.

方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程.

这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识—.

【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解.

2.探索新知，讲授新课

关于二元一次方程的教学.

我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习.

练习一

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由.

①②③

④⑤⑥

练习二

分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程.

学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2.

【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解.

练习三

课本第6页练习1.

提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数每取一个值，另一个未知数就有惟一的值与它相对应.

练习四

填表，使上下每对、的值满足方程.

－2

0

0.4

2

－1

0

3

师生共同总结方法：已知，求，用含有的代数式表示，为；已知，求，用含有的代数式表示，为.

【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解奠定了基础.

关于的教学.

上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程.因此，把这两个方程合在一起，写成

这两个方程合在一起，就组成了一个.

方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起.

练习五

已知、都是未知数，判别下列方程组是否为？

①②

③④

【教法说明】练习五有助于学生理解的概念，目的是避免学生对形成错误的认识.

对于前面的问题，列要比列一元一次方程容易些.根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即，，这里，既满足方程①，又满足方程②，我们说

是

的解.

学生活动：尝试总结的解的概念，思考后自由发言.

教师纠正、指导后板书：

使的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做的解.

例题判断是不是的解.

学生活动：口答例题.

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯.

3.尝试反馈，巩固知识

练习：课本第6页第2题目的：突出本节课的重点.

课本第7页第1题目的：培养学生计算的准确性.

4.变式训练，培养能力

练习：P84.

【教法说明】使学生更深刻地理解的解的概念，并为解打下基础.

P8B组1.

【教法说明】为列找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力.

总结、扩展

1.让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获.

2.教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个的解.

3.中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题.

八、布置作业

必做题：P73.

选做题：P8B组2.

预习：课本第9～13页.

参考答案

略.

教学目的

1、使学生二元一次方程、的概念，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。

2、使学生了解二元一次方程、的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。

3、通过和一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法。通过“引例”的学习，使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点。

教学分析

重点：使学生认识到一对数必须同时满足两个二元一次方程，才是相应的的解。

掌握检验一对数是否是某个二元一次方程的解的书写格式。

难点：理解的解的含义。

突破：启发学生理解概念。

教学过程

一、复习

1、是什么方程？是什么一元一次方程？一元一次方程的标准形式是什么？它的解如何表达？如何检验x=3是不是方程5x+3(9-x)=33的解？

2、列方程解应用题：香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了9千克，付款33元。香蕉和苹果各买了多少千克？

既然求两种水果各买多少？那么能不能设两个未知数呢？学生尝试设两个未知数，设买香蕉x千克，买苹果y千克，列出下列两个方程：

x+y=9

5x+3y=33

这里x与y必须满足这两个方程，那么又该如何表达呢？数学里大括号表示“不仅……而且……”，因此用大括号把两个方程联立起来：这又成了什么呢？里面的是不是一元一次方程呢？这就是我们今天要学习的内容。板书课题。

二、新授

1、有关概念

给出二元一次方程的概念

观察上面两个方程的特点，未知数的个数是多少，含未知数项的次数是多少？你能根据一元一次方程的定义给出新方程的定义吗？教师给出定义。

结合定义对“元”与“次”作进一步的解释：“元”与“未知数”相通，几个元就是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。二元一次方程和一元一次方程都是整式方程，只有整式方程才能说几元几次方程。

给出的定义。式子：

表示一个，它由方程①、②构成。当某两个未知数相同的成一个时应加上大括号。

给出的解的定义及表示法。

三、练习

P6练习：1，2。

四、小结

1、什么是二元一次方程？什么是？

2、什么是的解？如何检验一对数是不是某个方程组的解

五、作业

1、P5.1A：1，3，4。

教学建议

一、重点、难点分析

本节教学的重点是使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解.难点是了解的解的含义.这里困难在于从1个数值变成了2个数值，而且这2个数值合在一起，才算作的解.用大括号来表示的解，可以使学生从形式上克服理解的困难；而讲清问题中已含有两个互相联系着的未知数，把它们的值都写出来才是问题的解答.这是克服这一难点的关键所在.

二、知识结构

本小节通过求两个未知数的实际问题，先应用学生以学过的一元一次方程知识去解决，然后尝试设两个未知数，根据题目中的两个条件列出两个方程，从而引入二元一次方程、以及的解等概念.

三、教法建议

1.教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念.

2.通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及.

3.通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题.

4.为了减少学习上的困难，使学生学到最基本、最实用的知识，教学中不宜介绍相依方程组如

和矛盾方程组如

等概念，也不要使方程组中任何一个方程的未知数的系数全部为0当然，作为特例，出现类似

之类的是可以的，这时可以告诉学生，方程中未知数的系数为0，方程也看作一个二元一次方程.

教学设计示例

一、素质教育目标

知识教学点

1.了解二元一次方程、和它的解的概念.

2.会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.

3.会检验一对数值是不是某个的解.

能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力和计算能力.

德育渗透点

培养学生严格认真的学习态度.

美育渗透点

通过本节的学习，渗透方程组的解必须满足方程组中的每一个方程恒等的数学美，激发学生探究数学奥秘的兴趣和激情.

二、学法引导

1.教学方法：讨论法、练习法、尝试指导法.

2.学生学法：理解二元一次方程和及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础.

三、重点·难点·疑点及解决办法

重点

使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解.

难点

了解的解的含义.

疑点及解决办法

检验一对未知数的值是否为某个的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点.在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了.

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念.

2.通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及.

3.通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题.

七、教学步骤

明确目标

本节课的教学目标为理解二元一次方程及的概念并会判断一对未知数的值是否为的解.

整体感知

由复习方程及其解，导入二元一次方程及的概念，并会判断它们；同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔；最后学会检验解的问题.

教学过程

1.创设情境、复习导入

什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？

回答老师提出的问题并自由举例.

【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学习二元一次方程做铺垫.

列一元一次方程求解.

香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：思考，设未知数，回答.

设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，

根据题意，得

解这个方程，得

答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克.

上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？

设买了香蕉千克，买了苹果千克，根据题意可得两个方程

观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？

观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点.

方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程.

这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识—.

【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解.

2.探索新知，讲授新课

关于二元一次方程的教学.

我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习.

练习一

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由.

①②③

④⑤⑥

练习二

分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程.

学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2.

【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解.

练习三

课本第6页练习1.

提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数每取一个值，另一个未知数就有惟一的值与它相对应.

练习四

填表，使上下每对、的值满足方程.

－2

0

0.4

2

－1

0

3

师生共同总结方法：已知，求，用含有的代数式表示，为；已知，求，用含有的代数式表示，为.

【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解奠定了基础.

关于的教学.

上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程.因此，把这两个方程合在一起，写成

这两个方程合在一起，就组成了一个.

方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起.

练习五

已知、都是未知数，判别下列方程组是否为？

①②

③④

【教法说明】练习五有助于学生理解的概念，目的是避免学生对形成错误的认识.

对于前面的问题，列要比列一元一次方程容易些.根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即，，这里，既满足方程①，又满足方程②，我们说

是

的解.

学生活动：尝试总结的解的概念，思考后自由发言.

教师纠正、指导后板书：

使的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做的解.

例题判断是不是的解.

学生活动：口答例题.

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯.

3.尝试反馈，巩固知识

练习：课本第6页第2题目的：突出本节课的重点.

课本第7页第1题目的：培养学生计算的准确性.

4.变式训练，培养能力

练习：P84.

【教法说明】使学生更深刻地理解的解的概念，并为解打下基础.

P8B组1.

【教法说明】为列找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力.

总结、扩展

1.让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获.

2.教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个的解.

3.中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题.

八、布置作业

必做题：P73.

选做题：P8B组2.

预习：课本第9～13页.

参考答案

略.

教学建议

一、重点、难点分析

本节教学的重点是使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解.难点是了解的解的含义.这里困难在于从1个数值变成了2个数值，而且这2个数值合在一起，才算作的解.用大括号来表示的解，可以使学生从形式上克服理解的困难；而讲清问题中已含有两个互相联系着的未知数，把它们的值都写出来才是问题的解答.这是克服这一难点的关键所在.

二、知识结构

本小节通过求两个未知数的实际问题，先应用学生以学过的一元一次方程知识去解决，然后尝试设两个未知数，根据题目中的两个条件列出两个方程，从而引入二元一次方程、以及的解等概念.

三、教法建议

1.教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念.

2.通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及.

3.通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题.

4.为了减少学习上的困难，使学生学到最基本、最实用的知识，教学中不宜介绍相依方程组如

和矛盾方程组如

等概念，也不要使方程组中任何一个方程的未知数的系数全部为0当然，作为特例，出现类似

之类的是可以的，这时可以告诉学生，方程中未知数的系数为0，方程也看作一个二元一次方程.

教学设计示例

一、素质教育目标

知识教学点

1.了解二元一次方程、和它的解的概念.

2.会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.

3.会检验一对数值是不是某个的解.

能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力和计算能力.

德育渗透点

培养学生严格认真的学习态度.

美育渗透点

通过本节的学习，渗透方程组的解必须满足方程组中的每一个方程恒等的数学美，激发学生探究数学奥秘的兴趣和激情.

二、学法引导

1.教学方法：讨论法、练习法、尝试指导法.

2.学生学法：理解二元一次方程和及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础.

三、重点·难点·疑点及解决办法

重点

使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解.

难点

了解的解的含义.

疑点及解决办法

检验一对未知数的值是否为某个的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点.在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了.

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念.

2.通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及.

3.通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题.

七、教学步骤

明确目标

本节课的教学目标为理解二元一次方程及的概念并会判断一对未知数的值是否为的解.

整体感知

由复习方程及其解，导入二元一次方程及的概念，并会判断它们；同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔；最后学会检验解的问题.

教学过程

1.创设情境、复习导入

什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？

回答老师提出的问题并自由举例.

【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学习二元一次方程做铺垫.

列一元一次方程求解.

香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：思考，设未知数，回答.

设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，

根据题意，得

解这个方程，得

答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克.

上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？

设买了香蕉千克，买了苹果千克，根据题意可得两个方程

观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？

观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点.

方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程.

这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识—.

【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解.

2.探索新知，讲授新课

关于二元一次方程的教学.

我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习.

练习一

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由.

①②③

④⑤⑥

练习二

分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程.

学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2.

【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解.

练习三

课本第6页练习1.

提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数每取一个值，另一个未知数就有惟一的值与它相对应.

练习四

填表，使上下每对、的值满足方程.

－2

0

0.4

2

－1

0

3

师生共同总结方法：已知，求，用含有的代数式表示，为；已知，求，用含有的代数式表示，为.

【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解奠定了基础.

关于的教学.

上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程.因此，把这两个方程合在一起，写成

这两个方程合在一起，就组成了一个.

方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起.

练习五

已知、都是未知数，判别下列方程组是否为？

①②

③④

【教法说明】练习五有助于学生理解的概念，目的是避免学生对形成错误的认识.

对于前面的问题，列要比列一元一次方程容易些.根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即，，这里，既满足方程①，又满足方程②，我们说

是

的解.

学生活动：尝试总结的解的概念，思考后自由发言.

教师纠正、指导后板书：

使的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做的解.

例题判断是不是的解.

学生活动：口答例题.

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯.

3.尝试反馈，巩固知识

练习：课本第6页第2题目的：突出本节课的重点.

课本第7页第1题目的：培养学生计算的准确性.

4.变式训练，培养能力

练习：P84.

【教法说明】使学生更深刻地理解的解的概念，并为解打下基础.

P8B组1.

【教法说明】为列找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力.

总结、扩展

1.让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获.

2.教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个的解.

3.中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题.

八、布置作业

必做题：P73.

选做题：P8B组2.

预习：课本第9～13页.

参考答案

略.

一.教学目标(一)教学知识点1.代入消元法解二元一次方程组.2.解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”的化归思想.(二)能力训练要求1.会用代入消元法解二元一次方程组.2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.(三)情感与价值观要求1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，提高学习数学的信心.2.培养学生合作交流，自主探索的良好习惯.二.教学重点1.会用代入消元法解二元一次方程组.2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想.三.教学难点1.“消元”的思想.2.“化未知为已知”的化归思想.四.教学方法启发——自主探索相结合.教师引导学生回忆一元一次方程解决实际问题的方法并从中启发学生如果能将二元一次方程组转化为一元一次方程.二元一次方程便可获解，从而通过学生自主探索总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.五.教具准备投影片两张：第一张：例题(记作§7.2a)；第二张：问题串(记作§7.2b).六.教学过程ⅰ.提出疑问，引入新课［师生共忆］上节课我们讨论过一个“希望工程”义演的问题；没去观看义演的成人有x个，儿童有y个，我们得到了方程组成人和儿童到底去了多少人呢？［生］在上一节课的“做一做”中，我们通过检验是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程组解的定义得出是方程组的解.所以成人和儿童分别去了5个人和3个人.［师］但是，这个解是试出来的.我们知道二元一次方程的解有无数个.难道我们每个方程组的解都去这样试？［生］太麻烦啦.［生］不可能.［师］这就需要我们学习二元一次方程组的解法.ⅱ.讲授新课［师］在七年级第一学期我们学过一元一次方程，也曾碰到过“希望工程”义演问题，当时是如何解的呢？［生］解：设成人去了x个，儿童去了(8－x)个，根据题意，得：5x+3(8－x)=34解得x=5将x=5代入8－x=8－5=3答：成人去了5个，儿童去了3个.［师］同学们可以比较一下：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？［生］列二元一次方程组设出有两个未知数成人去了x个，儿童去了y个.列一元一次方程设成人去了x个，儿童去了(8－x)个.y应该等于(8－x).而由二元一次方程组的一个方程x+y=8根据等式的性质可以推出y=8－x.［生］我还发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相比较，把5x+3y=34中的“y”用“8－x”代替就转化成了一元一次方程.［师］太好了.我们发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识转化为旧知识便可.如何转化呢？［生］上一节课我们就已知道方程组的两个未知数所包含的意义是相同的.所以将中的①变形，得y=8－x③我们把y=8－x代入方程②，即将②中的y用8－x代替，这样就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”.［师］这位同学很善于思考.他用了我们在数学研究中“化未知为已知”的化归思想，从而使问题得到解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.解：由①得y=8－x③将③代入②得5x+3(8－x)=34解得x=5把x=5代入③得y=3.所以原方程组的解为下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.［师生共析］解二元一次方程组：分析：我们解二元一次方程组的第一步需将其中的一个方程变形用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，把表示了的未知数代入未变形的方程中，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程.解：由①得x=2+y③将③代入②得(2+y)+1=2(y－1)解得y=5把y=5代入③，得x=7.所以原方程组的解为即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹.［师］在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入第二个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”而得到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.这种解二元一次方程组的思想为消元思想.我们再来看两个例子.出示投影片(§7.2a)［例题］解方程组(1)(2)(由学生自己完成，两个同学板演).解：(1)将②代入①，得3×+2y=83y+9+4y=167y=7y=1将y=1代入②，得x=2所以原方程组的解是(2)由②，得x=13－4y③将③代入①，得2(13－4y)+3y=16－5y=－10y=2将y=2代入③，得x=5所以原方程组的解是［师］下面我们来讨论几个问题：出示投影片(§7.2b)(1)上面解方程组的基本思路是什么？(2)主要步骤有哪些？(3)我们观察例1和例2的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法)［生］我来回答第一问：解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.［生］我们组总结了一下解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，把它变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数.第二步：把表示另一个未知数的代数式代入没有变形的另一个方程，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.第五步：用“{”把原方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)把求得的解代入每一个方程看是否成立.［师］这个组的同学总结的步骤真棒，甚至连我们平时容易忽略的检验问题也提了出来，很值得提倡.在我们数学学习的过程中，应该养成反思自己解答过程，检验自己答案正确与否的习惯.［生］老师，我代表我们组来回答第三个问题.我们认为用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的分数是1的方程进行变形；若未知数的系数都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.但我们也有一个问题要问：在例2中，我们选择②变形这是无可厚非的，把②变形后代入①中消元得到的是一元一次方程系数都为整数也较简便.可例1中，虽然可直接把②代入①中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不简便，有没有更简捷的方法呢？［师］这个问题提的太好了.下面同学们分组讨论一下.如果你发现了更好的解法，请把你的解答过程写到黑板上来.［生］解：由②得2x=y+3③③两边同时乘以2，得4x=2y+6④由④得2y=4x－6把⑤代入①得3x+(4x－6)=8解得7x=14,x=2把x=2代入③得y=1.所以原方程组的解为［师］真了不起，能把我们所学的知识灵活应用，而且不拘一格，将“2y”整体上看作一个未知数代入方程①，这是一个“科学的发明”.ⅲ.随堂练习课本p1921.用代入消元法解下列方程组解：(1)将①代入②，得x+2x=12x=4.把x=4代入①，得y=8所以原方程组的解为(2)将①代入②，得4x+3(2x+5)=65解得x=5把x=5代入①得y=15所以原方程组的解为(3)由①，得x=11－y③把③代入②，得11－y－y=7y=2把y=2代入③，得x=9所以原方程组的解为(4)由②，得x=3－2y③把③代入①，得3(3－2y)－2y=9得y=0把y=0代入③，得x=3所以原方程组的解为注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，不必强调解答过程统一.ⅳ.课时小结这节课我们介绍了二元一次方程组的第一种解法——代入消元法.了解到了解二元一次方程组的基本思路是“消元”即把“二元”变为“一元”.主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程的解.ⅴ.课后作业1.课本习题7.22.解答习题7.2第3题ⅵ.活动与探究已知代数式x2+px+q,当x=－1时，它的值是－5；当x=－2时，它的值是4,求p、q的值.过程：根据代数式值的意义，可得两个未知数都是p、q的方程，即当x=－1时，代数式的值是－5，得(－1)2+(－1)p+q=－5①当x=－2时，代数式的值是4，得(－2)2+(－2)p+q=4②将①、②两个方程整理，并组成方程组解方程组，便可解决.结果：由④得q=2p把q=2p代入③，得－p+2p=－6解得p=－6把p=－6代入q=2p=－12所以p、q的值分别为－6、－12.七.板书设计

§7.2解二元一次方程组(一)一、“希望工程”义演二、“谁的包裹多”问题三、例题四、解方程组的基本思路：消元即二元—→一元五、解二元一次方程组的基本步骤

各位评委老师们：

大家下午好！今天我说课的内容是人教版初中数学七年级下册第八章第一节二元一次方程组。我主要从教材分析、教法、学法、教学过程四个方面向大家汇报我对这节课的认识和理解。

一、说教材分析

1.教材的地位和作用

二元一次方程组是初中数学的重点内容之一，是一元一次方程知识的延续和提高，又是学习其他数学知识的基础。本节课是在学生学习了一元一次方程的基础上，继续学习另一种方程及方程组，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。通过类比，让学生从中充分体会二元一次方程组，理解并掌握解二元一次方程组的基本概念，为以后函数等知识的学习打下基础。

2.教学目标

知识目标：通过实例了解二元一次方程和它的解，二元一次方程组和它的解。

能力目标：会判断一组未知数的值是否为二元一次方程及方程组的解。会在实际问题中列二元一次方程组。

情感目标：使学生通过交流、合作、讨论获取成功体验，激发学生学习知识的兴趣，增强学生的自信心。

3.重点、难点

重点：二元一次方程和二元一次方程的解，二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念。

难点：在实际生活中二元一次方程组的应用。

二、教法

现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、言道者，教学的一切活动必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。

另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好发激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。

三、学法

“问题”是数学教学的心脏，活动是数学教学中的灵魂。所以我在学生思维最近发展区内设置并提出一系列问题，通过数学活动，引导学生：自主性学习，合作式学习，探究式学习等，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学思维和参与度，力求学生在“双基”数学能力和理性精神方面得到一定发展。

四、教学过程

新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：

复习旧知，温故知新

篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？

设计意图：构建注意主张教学应从学生已有的知识体系出发，方程是本节课深入研究二元一次方程组的认知基础，这样设计有利于引导学生顺利地进入学习情境。

创设情境，提出问题

这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？

由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：

胜的场数＋负的场数＝总场数，

胜场积分＋负场积分＝总积分。

这两个条件可以用方程

x＋y＝22

2x＋y＝40

表示：

上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.

把两个方程合在一起，写成

x＋y＝22

2x＋y＝40

像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

设计意图：以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望，通过情境创设，学生已激发了强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，此时我把学生带入下一环节。

发现问题，探求新知

满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中。

初中数学二元一次方程组教学反思篇一

一、反思的问题对二元一次方程的解法运用不够熟练

1、发现的问题：在解方程的时候，不知从何处下手，对数学中“化未知为已知”的化归思想掌握不透彻。对方程的多种解法不能灵活的运用，导致有关方程的解题速度较慢。

2、解决问题的过程：本节课是使学生正确掌握用加减法解二元一次方程组的方法下，通过学生自己的观察、发现、总结、归纳，探索加减法解二元一次方程组的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

3、教学反思：优化课堂教学过程的最终目的是为了提高课堂教学的效率。一节课只有45分钟，要完成教学目标，又要使每个学生在原有基础上都有新的收获，教师就必须具有效率意识。另一方面，学数学，离不开解题。特别是对数学的基础知识，不仅要求要形成一定的技能，还要在运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析和解决实际问题的能力方面达到一定的要求，这些离开必要的训练是不行的。所以要真正提高课堂教学效率，教师必须有训练意识，提供足够的练习时间和练习量。

二、反思的问题二元一次方程组的应用

1、发现的问题：学生在接触新的知识时老是和以前的知识联系起来，这样很好，但很多时候是乱戴帽子，包新的法则当成旧的知识，闹出了不少的笑话。

2、解决问题的过程：数学源于现实，寓于现实，又用于现实。我们在数学生活化的学习过程中，教师要注重引导学生领悟数学“源于生活，又用于生活”的道理，有些数学知识完全可以让学生在实践活动中感知，让他们学会通过实践活动解决数学问题。

3、教学反思：在每堂课都设置小组交流这一环节，交流的内容有对新知识的探究、对问题的理解、计算方法及体会、学生相互纠错等(避免满堂交流，没有目的的交流，教师要给予必要的引导，让学生在有价值有目标的交流，关注每个学生的参与情况，并给以指导)。通过学生学习小组交流，增强了每个学生的参与意识，同时通过解释、推断和对自己思想进行口头和书面的表达加深对概念和原理的理解，学生之见的合作交流，不仅是使学生获取必要的学科知识，对于提高每个学生的口头表达能力及数学语言的规范及交际能力、合作意识的培养起到了很大的作用

三、反思的问题学生对二元一次方程组学习感到枯燥

1、发现的问题：在学习《二元一次方程组》时，学生对本节课的内容和前面学习的一元一次方程有点类似，学生学习起来感到枯燥无味。课堂气愤涣散，效率不高。

2、解决问题的过程：在学习二元一次方程组时，可以用中国古代著名数学问题“鸡兔同笼”或“百鸡百钱”问题作为引入。学生被这种有趣的问题吸引，积极思考问题的答案，以“趣”引思，使学生处于兴奋状态和积极思维状态，不但能诱发学生主动学习，而且还能增长知识，了解了我国古代的数学发展，培养学生的爱国主义精神。

3、教学反思：一堂成功的数学课，往往给人以自然、和谐、舒服的享受，在数学教学中，我们要紧密联系学生的生活实际，在现实世界中寻找数学题材，让教学贴近生活，让学生在生活中看到数学，摸到数学，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。让学生接触与生活有关的数学问题，势必会激发学生的学习兴趣，从而有效的提高课堂教学效率，使学生真正喜欢数学、学好数学、用好数学。

四、反思的问题学生不敢或不愿提出问题

1、发现的问题：好奇心人皆有之，但由于受传统教育思想的影响，学生虽有一定的问题意识，但怕所提问题太简单或与课堂教学联系不大，被老师和同学认为知识浅薄，怕打断老师的教学思路和计划，被老师拒绝，所以学生的问题意识没有表现出来，是潜在的状态。

2、解决问题的过程：沟通师生感情，营造平等、民主的教学氛围。渗透事例教育，认识“问题”意识。创设问题情况，激活提问兴趣。开展评比活动，激发提问兴趣。强化活动课程，促进自主学习。

3、教学反思：学生问题意识的培养，首先要求我们教师要转变教学观念，变革教学模式，在课堂教学过程中，不断探索培养学生问题意识的教学方法，营造良好的教育环境，促使学生的创新精神和创新能力的发展。课程的综合化趋势特别需要教师之间的合作，学生研究性学习，实践性活动等也需要不同学科的老师配合指导。同时，还要与家长进行沟通配合，要保持经常的密切的联系，在对学生的要求和教育方法上保持一致。

初中数学二元一次方程组教学反思篇二

“解二元一次方程组”是“二元一次方程组”一章中很重要的知识,占有重要的地位、通过本节课的教学,使学生会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组;了解“消元”思想。

教学后发现，大部分学生能掌握二元一次议程组的解法，教学一开始给出了一个二元一次方程组。提问：含有两个未知数的方程我们没有学习过怎样解，那么我们学过解什么类型的方程?答：一元一次方程。提问：那可怎么办呢?这时，学生通过交流，教师只要略加指导，方法自然得出，这其中也体现了化归思想，教学的最后给出了一个三元一次方程组，同样也没有学过它的解法，那学过什么类型的方程组，这时又怎么办呢?与教学开始时方法一样，但这时不需点拔、指导，学生按“消元”“化归”的思想，化“三元”为“二元”，化“二元”为“一元”，这对学生今后独立解决总是无疑是种好的方法。有个别同学在选择方法上：是用代入法还是加减法，很犹豫，解答起来速度较慢，只要多加练习，一定会即快又准。

教学建议

一、重点、难点分析

本节的教学重点是使学生学会用代入法.教学难点在于灵活运用代入法，这要通过一定数量的练习来解决；另一个难点在于用代入法求出一个未知数的值后，不知道应把它代入哪一个方程求另一个未知数的值比较简便.

解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”.我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解.

二、知识结构

三、教法建议

1.关于检验方程组的解的问题.教材指出：“检验时，需将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是不是相等.”教学时要强调“原方程组”和“每一个”这两点.检验的作用，一是使学生进一步明确代入法是求方程组的解的一种基本方法，通过代入消元的确可以求得方程组的解二是进一步巩固二元一次方程组的解的概念，强调

这一对数值才是原方程组的解，并且它们必须使两个方程左、右两边的值都相等；三是因为我们没有用方程组的同解原理而是用代换来解方程组的，所以有必要检验求出来的这一对数值是不是原方程组的解；四是为了杜绝变形和计算时发生的错误.检验可以口算或在草稿纸上演算，教科书中没有写出.

2.教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”.我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解.早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性.

3.教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深.随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易.这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误.

一、素质教育目标

知识教学点

1.掌握的步骤.

2.熟练运用代入法解简单的二元一次方程组.

能力训练点

1.培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形.

2.训练学生的运算技巧，养成检验的习惯.

德育渗透点

消元，化未知为已知的数学思想.

美育渗透点

通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美.

二、学法引导

1.教学方法：引导发现法、练习法，尝试指导法.

2.学生学法：在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法.

三、重点、难点、疑点及解决办法

重点

使学生会.

难点

灵活运用代入法的技巧.

疑点

如何“消元”，把“二元”转化为“一元”.

解决办法

一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形：

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量，并比较哪种表示形式更简单，如等.

2.通过课本中香蕉、苹果的应用问题，引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组，并通过比较、尝试，探索出化二元为一元的解方程组的方法.

3.再通过比较、尝试，探索出选一个系数较简单的方程变形，通过代入法求方程组解的办法更简便，并寻找出求解的规律.

七、教学步骤

明确目标

本节课我们将学习用代入法求二元一次方程组的解.

整体感知

从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法，从而导入运用代入法化二元为一元方程的求解过程，即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法.

教学步骤

1.创设情境，复习导入

已知方程，先用含的代数式表示，再用含的代数式表示.并比较哪一种形式比较简单.

选择题：

二元一次方程组的解是

A.B.C.D.

【教法说明】第题为打下基础；第题既复习了上节课的重点，又成为导入新课的材料.

通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解.那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习.

这样导入，可以激发学生的求知欲.

2.探索新知，讲授新课

香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：分别列出一元一次方程和二元一次方程组，两个学生板演.

设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，根据题意，得

设买了香蕉千克，买了苹果千克，得

上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢，由方程①可以得到③，把方程②中的转换成，也就是把方程③代入方程②，就可以得到.这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出了.

解：由①得：③

把③代入②，得：

∴

把代入③，得：

∴

【教法说明】解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程，这对于学生知识的形成十分重要.

上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法.你能简单说说的基本思路吗？

学生活动：小组讨论，选代表发言，教师进行指导.纠正后归纳：设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程.

例1解方程组

观察上面的方程组，应该如何消元？

把①代入②后可消掉，得到关于的一元一次方程，求出.

求出后代入哪个方程中求比较简单？

学生活动：依次回答问题后，教师板书

解：把①代入②，得

∴

把代入①，得

∴

如何检验得到的结果是否正确？

学生活动：口答检验.

教师：要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中.

【教法说明】给出例1后提出的三个问题，恰好是学生的思维过程，明确了解题思路；教师板演例1，规范了解二元一次方程组的解题格式；通过检验，可使学生养成严谨认真的学习习惯.

例2解方程组

要把某个方程化成如例1中方程①的形式后，代入另一个方程中才能消元.方程②中的系数是1，比较简单.因此，可以先将方程②变形，用含的代数式表示，再代入方程①求解.

学生活动：尝试完成例2.

教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化.

解：由②，得③

把③代入①，得

∴

∴

把代入③，得

∴

∴

检验后，师生共同讨论：

由②得到③后，再代入②可以吗？为什么？

把代入①或②可以求出吗？代入③有什么好处？

学生活动：根据例1、例2的解题过程，尝试总结的一般步骤，讨论后选代表发言.之后，看课本第12页，用几个字概括每个步骤.

教师板书：

变形

代入消元

解一元一次方程得

把代入求解

练习：P131.；P142..

3.变式训练，培养能力

①由可以得到用表示.

②在中，当时，；当时，，则；.

③选择：若是方程组的解，则

A.B.C.D.

总结、扩展

1.解二元一次方程组的思想：.

2.的步骤.

3.的技巧：①变形的技巧②代入的技巧.

通过这节课的学习，我们要熟练运，并能检验结果是否正确.

八、布置作业

必做题：P151.，2..

选做题：P15B组1.

参考答案

1.

2.

，

第1课5.1二元一次方程组

教学目的

1、使学生二元一次方程、二元一次方程组的概念，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。

2、使学生了解二元一次方程、二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。

3、通过和一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法。通过“引例”的学习，使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点。

教学分析

重点：使学生认识到一对数必须同时满足两个二元一次方程，才是相应的二元一次方程组的解。

掌握检验一对数是否是某个二元一次方程的解的书写格式。

难点：理解二元一次方程组的解的含义。

突破：启发学生理解概念。

教学过程

一、复习

1、是什么方程？是什么一元一次方程？一元一次方程的标准形式是什么？它的解如何表达？如何检验x=3是不是方程5x+3(9-x)=33的解？

2、列方程解应用题：香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了9千克，付款33元。香蕉和苹果各买了多少千克？

既然求两种水果各买多少？那么能不能设两个未知数呢？学生尝试设两个未知数，设买香蕉x千克，买苹果y千克，列出下列两个方程：

x+y=9

5x+3y=33

这里x与y必须满足这两个方程，那么又该如何表达呢？数学里大括号表示“不仅……而且……”，因此用大括号把两个方程联立起来：这又成了什么呢？里面的是不是一元一次方程呢？这就是我们今天要学习的内容。板书课题。

二、新授

1、有关概念

给出二元一次方程的概念

观察上面两个方程的特点，未知数的个数是多少，含未知数项的次数是多少？你能根据一元一次方程的定义给出新方程的定义吗？教师给出定义。

结合定义对“元”与“次”作进一步的解释：“元”与“未知数”相通，几个元就是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。二元一次方程和一元一次方程都是整式方程，只有整式方程才能说几元几次方程。

给出二元一次方程组的定义。式子：

表示一个二元一次方程组，它由方程①、②构成。当某两个未知数相同的二元一次方程组成一个二元一次方程组时应加上大括号。

给出二元一次方程组的解的定义及表示法。

三、练习

P6练习：1，2。

四、小结

1、什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？

2、什么是二元一次方程组的解？如何检验一对数是不是某个方程组的解

五、作业

1、P5.1A：1，3，4。

教学建议

一、重点、难点分析

本节的教学重点是使学生学会用代入法.教学难点在于灵活运用代入法，这要通过一定数量的练习来解决；另一个难点在于用代入法求出一个未知数的值后，不知道应把它代入哪一个方程求另一个未知数的值比较简便.

解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”.我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解.

二、知识结构

三、教法建议

1.关于检验方程组的解的问题.教材指出：“检验时，需将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是不是相等.”教学时要强调“原方程组”和“每一个”这两点.检验的作用，一是使学生进一步明确代入法是求方程组的解的一种基本方法，通过代入消元的确可以求得方程组的解二是进一步巩固二元一次方程组的解的概念，强调

这一对数值才是原方程组的解，并且它们必须使两个方程左、右两边的值都相等；三是因为我们没有用方程组的同解原理而是用代换来解方程组的，所以有必要检验求出来的这一对数值是不是原方程组的解；四是为了杜绝变形和计算时发生的错误.检验可以口算或在草稿纸上演算，教科书中没有写出.

2.教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”.我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解.早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性.

3.教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深.随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易.这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误.

一、素质教育目标

知识教学点

1.掌握的步骤.

2.熟练运用代入法解简单的二元一次方程组.

能力训练点

1.培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形.

2.训练学生的运算技巧，养成检验的习惯.

德育渗透点

消元，化未知为已知的数学思想.

美育渗透点

通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美.

二、学法引导

1.教学方法：引导发现法、练习法，尝试指导法.

2.学生学法：在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法.

三、重点、难点、疑点及解决办法

重点

使学生会.

难点

灵活运用代入法的技巧.

疑点

如何“消元”，把“二元”转化为“一元”.

解决办法

一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形：

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片.

六、师生互动活动设计

1.教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量，并比较哪种表示形式更简单，如等.

2.通过课本中香蕉、苹果的应用问题，引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组，并通过比较、尝试，探索出化二元为一元的解方程组的方法.

3.再通过比较、尝试，探索出选一个系数较简单的方程变形，通过代入法求方程组解的办法更简便，并寻找出求解的规律.

七、教学步骤

明确目标

本节课我们将学习用代入法求二元一次方程组的解.

整体感知

从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法，从而导入运用代入法化二元为一元方程的求解过程，即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法.

教学步骤

1.创设情境，复习导入

已知方程，先用含的代数式表示，再用含的代数式表示.并比较哪一种形式比较简单.

选择题：

二元一次方程组的解是

A.B.C.D.

【教法说明】第题为打下基础；第题既复习了上节课的重点，又成为导入新课的材料.

通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解.那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习.

这样导入，可以激发学生的求知欲.

2.探索新知，讲授新课

香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：分别列出一元一次方程和二元一次方程组，两个学生板演.

设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，根据题意，得

设买了香蕉千克，买了苹果千克，得

上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢，由方程①可以得到③，把方程②中的转换成，也就是把方程③代入方程②，就可以得到.这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出了.

解：由①得：③

把③代入②，得：

∴

把代入③，得：

∴

【教法说明】解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程，这对于学生知识的形成十分重要.

上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法.你能简单说说的基本思路吗？

学生活动：小组讨论，选代表发言，教师进行指导.纠正后归纳：设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程.

例1解方程组

观察上面的方程组，应该如何消元？

把①代入②后可消掉，得到关于的一元一次方程，求出.

求出后代入哪个方程中求比较简单？

学生活动：依次回答问题后，教师板书

解：把①代入②，得

∴

把代入①，得

∴

如何检验得到的结果是否正确？

学生活动：口答检验.

教师：要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中.

【教法说明】给出例1后提出的三个问题，恰好是学生的思维过程，明确了解题思路；教师板演例1，规范了解二元一次方程组的解题格式；通过检验，可使学生养成严谨认真的学习习惯.

例2解方程组

要把某个方程化成如例1中方程①的形式后，代入另一个方程中才能消元.方程②中的系数是1，比较简单.因此，可以先将方程②变形，用含的代数式表示，再代入方程①求解.

学生活动：尝试完成例2.

教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化.

解：由②，得③

把③代入①，得

∴

∴

把代入③，得

∴

∴

检验后，师生共同讨论：

由②得到③后，再代入②可以吗？为什么？

把代入①或②可以求出吗？代入③有什么好处？

学生活动：根据例1、例2的解题过程，尝试总结的一般步骤，讨论后选代表发言.之后，看课本第12页，用几个字概括每个步骤.

教师板书：

变形

代入消元

解一元一次方程得

把代入求解

练习：P131.；P142..

3.变式训练，培养能力

①由可以得到用表示.

②在中，当时，；当时，，则；.

③选择：若是方程组的解，则

A.B.C.D.

总结、扩展

1.解二元一次方程组的思想：.

2.的步骤.

3.的技巧：①变形的技巧②代入的技巧.

通过这节课的学习，我们要熟练运，并能检验结果是否正确.

八、布置作业

必做题：P151.，2..

选做题：P15B组1.

参考答案

1.

2.

，

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