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基本作图

教学目标：

1、知识目标：

要掌握尺规作图的方法及一般步骤；

掌握五种,明确尺规作图的意义。

2、能力目标：

通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力；

通过画图，培养学生的作图能力及动手能力.

3、情感目标：

体验数学语言的简洁严谨。

体会数学作图语言和图形的和谐统一。

教学重点：熟练掌握五个，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。

教学难点：作图语言的准确应用，作图的规范与准确。

教学用具：直尺，圆规

教学方法：讲练结合法

教学过程：

前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题.在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形.本节我们学习这种几何作图方法.

1、阅读教材，理解概念

学生阅读教材第一部分，并回答问题：

(1)尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图.

(学生使用的尺子都有刻度，这里告诉学生，直尺是用来画直线的，或者延长线段、射线成直线的.我们作图时，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它们去度量长度，就是这里所说的直尺)

(2)：最基本、最常用的尺规作图，通常称.

一些复杂的尺规作图，都是由组成的，第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段，这是一种，下面再介绍几种：

练习：作一条线段等于已知线段

2、讲解例题，熟悉语言

教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂。

前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等，进而达到角相等的目的.

1.作一个角等于已知角

分析：解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作。对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。

已知：AOB

求作：使＝AOB

分析：假设∠A'O'B'已作出，且∠A'O'B'=∠AOB，如图2，在OA、OB、O'A'、O'B'上取点C、D、C'、D'，使OC=OD=O'C'=O'D'，那么△COD≌△C'O'D'.

由此可知，要作出∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB，只要作出△O'C'D'，使O'C'=OC，O'D'=OD，C'D'=CD，这就是前面学过的“已知三边画三角形”.

作法：1、作射线

2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D

3、以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于

4、以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于

5、经过点作射线。就是所求的角

证明：连结CD、C'D'，由作法可知

△C'O'D≌△COD(SSS)

∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形对应角相等).

即∠A'O'B'=∠AOB.

说明：作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明.注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单.如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了.

练习：如图3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB.

首先要求作图工具——直尺(无刻度)、圆规.

然后引导学生分析题意，弄清已知是什么，求作是什么？画出已知条件(一个角)，写出已知、求作.在求作中先写出什么图形，再写使它合乎什么条件.

作法可让学生或教师作图，学生叙述作法.

让学生写出证明过程.

2.平分已知角

前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来画已知角的平分线呢？

分析：如图4，假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD.这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB.于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D.以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

已知：∠AOB如图5

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.

作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE.

分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C.

(3)作射线OC.

OC就是所求的射线.

证明：连结CD、CE，由作法可知

△ODC≌△OEC

∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等).

即∠AOC=∠BOC.

小结：

(1)1、2有一个不同之点，即2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，1所作的∠A'O'B'并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠A'O'B'作在∠AOB的近旁.

(2)作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹).

(3)只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形.如中要写出“∠A'O'B'就是所求的角.”

3.经过一点作已知直线的垂线

分两种情况来考虑：

(1)经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.

(2)经过已知直线外的一点作这条直线的垂线.

引导学生写出解题的全过程：已知、求作、作法、证明.关键地方和疑点要向学生解释清楚.

分析：现在要寻找“经过直线外一点作这条直线的垂线”的方法，能利用角平分线的作法吗？如图6，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OF，如果画出直线DE，那么∠AOB的平分线OF与直线DE垂直吗？为什么？

如果我们把D、E看成一条直线上的两点，那么点O就是这条直线外的一点，图6启发我们经过直线DE外一点O作这条直线的垂线的关键在于确定点F，你会确定点F吗？

①已知：直线AB和AB上一点C，如图7.

求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：证明引导学生写出.

②已知：直线AB和AB外一点C，如图8.

求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：引导学生写出，要向学生说明所取的点K必须要使它和C在AB的两旁，通过反例说明不这样作不行的道理.对教材中略去的证明要让学生补出来.提示：连结CD、CE、FD、FE，设CF与AB交于点O.首先证明△CDF≌△CEF，再证明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，从而得∠DOF=∠EOF=90°.

4.作线段的垂直平分线

先让学生理解线段垂直平分线的概念.

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线.

分析：在图6中OF是线段DE的垂直平分线吗？为什么？

想一想：确定线段DE的垂直平分线的关键是什么？

引导学生写出已知、求作、作法.参照1.让学生补上证明过程.以判定两个三角形全等的公理或推论为根据，做几何作图题的证明，一方面可以使学生确信作图的正确性；另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法.

因为直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.

小结：

作角平分线、垂线、中垂线从本质上讲是一致的：根据“SSS”公理，确定两点，从而确定所求直(射)线.

至此，共讲了5个，第一章中有一个“作一条线段等于已知线段”，本章又有4个.对于这些应该牢固掌握，灵活运用，因为它是几何作图的基础.反复练习5个，让学生熟悉解作图题的全过程，及时准确总结出几种常见几何作图语言即作图范句

例4、已知：线段

求作：，使

作法：1、作线段BC＝a

2、分别以点B、C为圆心，以为半径作弧，两弧交于点A

3、连结AB、AC

就是所求作的三角形

例5、已知两角和其中一角的对边，求作三角形

已知：

求作：

作法：1、作线段

2、在BC的同侧作

DE、EC交于点A。

为所求的三角形

证明：

让学生补充证明。

3、总结归纳，便于掌握

常用的作图语言：

过点、作线段或射线、直线；连结两点、；在线段或射线上截取＝；以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点；分别以点，点为圆心，以，的长为半径作弧，两弧相交于点；延长到点，使＝。

作图题说明

在作图中，有属于的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

(1)作线段＝；作∠＝∠；作平分∠；

过点作，垂足为点；作线段的垂直平分线；

4、课堂练习，巩固内容

(1)平分已知角

(2)作线段的垂直平分线

学生板书并讲解,教师点评。

5、布置作业：

a、书面作业P88＃1

b、上交作业P88＃3、9

板书设计：

教学目标：

1、知识目标：

要掌握尺规作图的方法及一般步骤；

掌握五种,明确尺规作图的意义。

2、能力目标：

通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力；

通过画图，培养学生的作图能力及动手能力.

3、情感目标：

体验数学语言的简洁严谨。

体会数学作图语言和图形的和谐统一。

教学重点：熟练掌握五个，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。

教学难点：作图语言的准确应用，作图的规范与准确。

教学用具：直尺，圆规

教学方法：讲练结合法

教学过程：

前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题.在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形.本节我们学习这种几何作图方法.

1、阅读教材，理解概念

学生阅读教材第一部分，并回答问题：

(1)尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图.

(学生使用的尺子都有刻度，这里告诉学生，直尺是用来画直线的，或者延长线段、射线成直线的.我们作图时，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它们去度量长度，就是这里所说的直尺)

(2)：最基本、最常用的尺规作图，通常称.

一些复杂的尺规作图，都是由组成的，第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段，这是一种，下面再介绍几种：

练习：作一条线段等于已知线段

2、讲解例题，熟悉语言

教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂。

前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等，进而达到角相等的目的.

1.作一个角等于已知角

分析：解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作。对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。

已知：AOB

求作：使＝AOB

分析：假设∠A'O'B'已作出，且∠A'O'B'=∠AOB，如图2，在OA、OB、O'A'、O'B'上取点C、D、C'、D'，使OC=OD=O'C'=O'D'，那么△COD≌△C'O'D'.

由此可知，要作出∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB，只要作出△O'C'D'，使O'C'=OC，O'D'=OD，C'D'=CD，这就是前面学过的“已知三边画三角形”.

作法：1、作射线

2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D

3、以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于

4、以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于

5、经过点作射线。就是所求的角

证明：连结CD、C'D'，由作法可知

△C'O'D≌△COD(SSS)

∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形对应角相等).

即∠A'O'B'=∠AOB.

说明：作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明.注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单.如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了.

练习：如图3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB.

首先要求作图工具——直尺(无刻度)、圆规.

然后引导学生分析题意，弄清已知是什么，求作是什么？画出已知条件(一个角)，写出已知、求作.在求作中先写出什么图形，再写使它合乎什么条件.

作法可让学生或教师作图，学生叙述作法.

让学生写出证明过程.

2.平分已知角

前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来画已知角的平分线呢？

分析：如图4，假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD.这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB.于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D.以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

已知：∠AOB如图5

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.

作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE.

分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C.

(3)作射线OC.

OC就是所求的射线.

证明：连结CD、CE，由作法可知

△ODC≌△OEC

∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等).

即∠AOC=∠BOC.

小结：

(1)1、2有一个不同之点，即2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，1所作的∠A'O'B'并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠A'O'B'作在∠AOB的近旁.

(2)作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹).

(3)只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形.如中要写出“∠A'O'B'就是所求的角.”

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教学目标：

1、知识目标：

要掌握尺规作图的方法及一般步骤；

掌握五种,明确尺规作图的意义。

2、能力目标：

通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力；

通过画图，培养学生的作图能力及动手能力.

3、情感目标：

体验数学语言的简洁严谨。

体会数学作图语言和图形的和谐统一。

教学重点：熟练掌握五个，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。

教学难点：作图语言的准确应用，作图的规范与准确。

教学用具：直尺，圆规

教学方法：讲练结合法

教学过程：

前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题.在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形.本节我们学习这种几何作图方法.

1、阅读教材，理解概念

学生阅读教材第一部分，并回答问题：

(1)尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图.

(学生使用的尺子都有刻度，这里告诉学生，直尺是用来画直线的，或者延长线段、射线成直线的.我们作图时，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它们去度量长度，就是这里所说的直尺)

(2)：最基本、最常用的尺规作图，通常称.

一些复杂的尺规作图，都是由组成的，第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段，这是一种，下面再介绍几种：

练习：作一条线段等于已知线段

2、讲解例题，熟悉语言

教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂。

前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等，进而达到角相等的目的.

1.作一个角等于已知角

分析：解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作。对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。

已知：AOB

求作：使＝AOB

分析：假设∠A'O'B'已作出，且∠A'O'B'=∠AOB，如图2，在OA、OB、O'A'、O'B'上取点C、D、C'、D'，使OC=OD=O'C'=O'D'，那么△COD≌△C'O'D'.

由此可知，要作出∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB，只要作出△O'C'D'，使O'C'=OC，O'D'=OD，C'D'=CD，这就是前面学过的“已知三边画三角形”.

作法：1、作射线

2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D

3、以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于

4、以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于

5、经过点作射线。就是所求的角

证明：连结CD、C'D'，由作法可知

△C'O'D≌△COD(SSS)

∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形对应角相等).

即∠A'O'B'=∠AOB.

说明：作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明.注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单.如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了.

练习：如图3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB.

首先要求作图工具——直尺(无刻度)、圆规.

然后引导学生分析题意，弄清已知是什么，求作是什么？画出已知条件(一个角)，写出已知、求作.在求作中先写出什么图形，再写使它合乎什么条件.

作法可让学生或教师作图，学生叙述作法.

让学生写出证明过程.

2.平分已知角

前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来画已知角的平分线呢？

分析：如图4，假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD.这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB.于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D.以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

已知：∠AOB如图5

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.

作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE.

分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C.

(3)作射线OC.

OC就是所求的射线.

证明：连结CD、CE，由作法可知

△ODC≌△OEC

∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等).

即∠AOC=∠BOC.

小结：

(1)1、2有一个不同之点，即2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，1所作的∠A'O'B'并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠A'O'B'作在∠AOB的近旁.

(2)作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹).

(3)只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形.如中要写出“∠A'O'B'就是所求的角.”

3.经过一点作已知直线的垂线

分两种情况来考虑：

(1)经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.

(2)经过已知直线外的一点作这条直线的垂线.

引导学生写出解题的全过程：已知、求作、作法、证明.关键地方和疑点要向学生解释清楚.

分析：现在要寻找“经过直线外一点作这条直线的垂线”的方法，能利用角平分线的作法吗？如图6，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OF，如果画出直线DE，那么∠AOB的平分线OF与直线DE垂直吗？为什么？

如果我们把D、E看成一条直线上的两点，那么点O就是这条直线外的一点，图6启发我们经过直线DE外一点O作这条直线的垂线的关键在于确定点F，你会确定点F吗？

①已知：直线AB和AB上一点C，如图7.

求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：证明引导学生写出.

②已知：直线AB和AB外一点C，如图8.

求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：引导学生写出，要向学生说明所取的点K必须要使它和C在AB的两旁，通过反例说明不这样作不行的道理.对教材中略去的证明要让学生补出来.提示：连结CD、CE、FD、FE，设CF与AB交于点O.首先证明△CDF≌△CEF，再证明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，从而得∠DOF=∠EOF=90°.

4.作线段的垂直平分线

先让学生理解线段垂直平分线的概念.

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线.

分析：在图6中OF是线段DE的垂直平分线吗？为什么？

想一想：确定线段DE的垂直平分线的关键是什么？

引导学生写出已知、求作、作法.参照1.让学生补上证明过程.以判定两个三角形全等的公理或推论为根据，做几何作图题的证明，一方面可以使学生确信作图的正确性；另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法.

因为直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.

小结：

作角平分线、垂线、中垂线从本质上讲是一致的：根据“SSS”公理，确定两点，从而确定所求直(射)线.

至此，共讲了5个，第一章中有一个“作一条线段等于已知线段”，本章又有4个.对于这些应该牢固掌握，灵活运用，因为它是几何作图的基础.反复练习5个，让学生熟悉解作图题的全过程，及时准确总结出几种常见几何作图语言即作图范句

例4、已知：线段

求作：，使

作法：1、作线段BC＝a

2、分别以点B、C为圆心，以为半径作弧，两弧交于点A

3、连结AB、AC

就是所求作的三角形

例5、已知两角和其中一角的对边，求作三角形

已知：

求作：

作法：1、作线段

2、在BC的同侧作

DE、EC交于点A。

为所求的三角形

证明：

让学生补充证明。

3、总结归纳，便于掌握

常用的作图语言：

过点、作线段或射线、直线；连结两点、；在线段或射线上截取＝；以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点；分别以点，点为圆心，以，的长为半径作弧，两弧相交于点；延长到点，使＝。

作图题说明

在作图中，有属于的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

(1)作线段＝；作∠＝∠；作平分∠；

过点作，垂足为点；作线段的垂直平分线；

4、课堂练习，巩固内容

(1)平分已知角

(2)作线段的垂直平分线

学生板书并讲解,教师点评。

5、布置作业：

a、书面作业P88＃1

b、上交作业P88＃3、9

板书设计：

教学目标：

1、知识目标：

要掌握尺规作图的方法及一般步骤；

掌握五种,明确尺规作图的意义。

2、能力目标：

通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力；

通过画图，培养学生的作图能力及动手能力.

3、情感目标：

体验数学语言的简洁严谨。

体会数学作图语言和图形的和谐统一。

教学重点：熟练掌握五个，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。

教学难点：作图语言的准确应用，作图的规范与准确。

教学用具：直尺，圆规

教学方法：讲练结合法

教学过程：

前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题.在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形.本节我们学习这种几何作图方法.

1、阅读教材，理解概念

学生阅读教材第一部分，并回答问题：

(1)尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图.

(学生使用的尺子都有刻度，这里告诉学生，直尺是用来画直线的，或者延长线段、射线成直线的.我们作图时，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它们去度量长度，就是这里所说的直尺)

(2)：最基本、最常用的尺规作图，通常称.

一些复杂的尺规作图，都是由组成的，第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段，这是一种，下面再介绍几种：

练习：作一条线段等于已知线段

2、讲解例题，熟悉语言

教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂。

前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等，进而达到角相等的目的.

1.作一个角等于已知角

分析：解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作。对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。

已知：AOB

求作：使＝AOB

分析：假设∠A'O'B'已作出，且∠A'O'B'=∠AOB，如图2，在OA、OB、O'A'、O'B'上取点C、D、C'、D'，使OC=OD=O'C'=O'D'，那么△COD≌△C'O'D'.

由此可知，要作出∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB，只要作出△O'C'D'，使O'C'=OC，O'D'=OD，C'D'=CD，这就是前面学过的“已知三边画三角形”.

作法：1、作射线

2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D

3、以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于

4、以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于

5、经过点作射线。就是所求的角

证明：连结CD、C'D'，由作法可知

△C'O'D≌△COD(SSS)

∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形对应角相等).

即∠A'O'B'=∠AOB.

说明：作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明.注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单.如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了.

练习：如图3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB.

首先要求作图工具——直尺(无刻度)、圆规.

然后引导学生分析题意，弄清已知是什么，求作是什么？画出已知条件(一个角)，写出已知、求作.在求作中先写出什么图形，再写使它合乎什么条件.

作法可让学生或教师作图，学生叙述作法.

让学生写出证明过程.

2.平分已知角

前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来画已知角的平分线呢？

分析：如图4，假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD.这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB.于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D.以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

已知：∠AOB如图5

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.

作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE.

分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C.

(3)作射线OC.

OC就是所求的射线.

证明：连结CD、CE，由作法可知

△ODC≌△OEC

∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等).

即∠AOC=∠BOC.

小结：

(1)1、2有一个不同之点，即2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，1所作的∠A'O'B'并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠A'O'B'作在∠AOB的近旁.

(2)作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹).

(3)只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形.如中要写出“∠A'O'B'就是所求的角.”

3.经过一点作已知直线的垂线

分两种情况来考虑：

(1)经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.

(2)经过已知直线外的一点作这条直线的垂线.

引导学生写出解题的全过程：已知、求作、作法、证明.关键地方和疑点要向学生解释清楚.

分析：现在要寻找“经过直线外一点作这条直线的垂线”的方法，能利用角平分线的作法吗？如图6，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OF，如果画出直线DE，那么∠AOB的平分线OF与直线DE垂直吗？为什么？

如果我们把D、E看成一条直线上的两点，那么点O就是这条直线外的一点，图6启发我们经过直线DE外一点O作这条直线的垂线的关键在于确定点F，你会确定点F吗？

①已知：直线AB和AB上一点C，如图7.

求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：证明引导学生写出.

②已知：直线AB和AB外一点C，如图8.

求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：引导学生写出，要向学生说明所取的点K必须要使它和C在AB的两旁，通过反例说明不这样作不行的道理.对教材中略去的证明要让学生补出来.提示：连结CD、CE、FD、FE，设CF与AB交于点O.首先证明△CDF≌△CEF，再证明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，从而得∠DOF=∠EOF=90°.

4.作线段的垂直平分线

先让学生理解线段垂直平分线的概念.

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线.

分析：在图6中OF是线段DE的垂直平分线吗？为什么？

想一想：确定线段DE的垂直平分线的关键是什么？

引导学生写出已知、求作、作法.参照1.让学生补上证明过程.以判定两个三角形全等的公理或推论为根据，做几何作图题的证明，一方面可以使学生确信作图的正确性；另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法.

因为直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.

小结：

作角平分线、垂线、中垂线从本质上讲是一致的：根据“SSS”公理，确定两点，从而确定所求直(射)线.

至此，共讲了5个，第一章中有一个“作一条线段等于已知线段”，本章又有4个.对于这些应该牢固掌握，灵活运用，因为它是几何作图的基础.反复练习5个，让学生熟悉解作图题的全过程，及时准确总结出几种常见几何作图语言即作图范句

例4、已知：线段

求作：，使

作法：1、作线段BC＝a

2、分别以点B、C为圆心，以为半径作弧，两弧交于点A

3、连结AB、AC

就是所求作的三角形

例5、已知两角和其中一角的对边，求作三角形

已知：

求作：

作法：1、作线段

2、在BC的同侧作

DE、EC交于点A。

为所求的三角形

证明：

让学生补充证明。

3、总结归纳，便于掌握

常用的作图语言：

过点、作线段或射线、直线；连结两点、；在线段或射线上截取＝；以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点；分别以点，点为圆心，以，的长为半径作弧，两弧相交于点；延长到点，使＝。

作图题说明

在作图中，有属于的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

(1)作线段＝；作∠＝∠；作平分∠；

过点作，垂足为点；作线段的垂直平分线；

4、课堂练习，巩固内容

(1)平分已知角

(2)作线段的垂直平分线

学生板书并讲解,教师点评。

5、布置作业：

a、书面作业P88＃1

b、上交作业P88＃3、9

板书设计：

教学目标：

1、知识目标：

要掌握尺规作图的方法及一般步骤；

掌握五种,明确尺规作图的意义。

2、能力目标：

通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力；

通过画图，培养学生的作图能力及动手能力.

3、情感目标：

体验数学语言的简洁严谨。

体会数学作图语言和图形的和谐统一。

教学重点：熟练掌握五个，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。

教学难点：作图语言的准确应用，作图的规范与准确。

教学用具：直尺，圆规

教学方法：讲练结合法

教学过程：

前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题.在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形.本节我们学习这种几何作图方法.

1、阅读教材，理解概念

学生阅读教材第一部分，并回答问题：

(1)尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图.

(学生使用的尺子都有刻度，这里告诉学生，直尺是用来画直线的，或者延长线段、射线成直线的.我们作图时，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它们去度量长度，就是这里所说的直尺)

(2)：最基本、最常用的尺规作图，通常称.

一些复杂的尺规作图，都是由组成的，第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段，这是一种，下面再介绍几种：

练习：作一条线段等于已知线段

2、讲解例题，熟悉语言

教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂。

前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等，进而达到角相等的目的.

1.作一个角等于已知角

分析：解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作。对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。

已知：AOB

求作：使＝AOB

分析：假设∠A'O'B'已作出，且∠A'O'B'=∠AOB，如图2，在OA、OB、O'A'、O'B'上取点C、D、C'、D'，使OC=OD=O'C'=O'D'，那么△COD≌△C'O'D'.

由此可知，要作出∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB，只要作出△O'C'D'，使O'C'=OC，O'D'=OD，C'D'=CD，这就是前面学过的“已知三边画三角形”.

作法：1、作射线

2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D

3、以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于

4、以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于

5、经过点作射线。就是所求的角

证明：连结CD、C'D'，由作法可知

△C'O'D≌△COD(SSS)

∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形对应角相等).

即∠A'O'B'=∠AOB.

说明：作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明.注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单.如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了.

练习：如图3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB.

首先要求作图工具——直尺(无刻度)、圆规.

然后引导学生分析题意，弄清已知是什么，求作是什么？画出已知条件(一个角)，写出已知、求作.在求作中先写出什么图形，再写使它合乎什么条件.

作法可让学生或教师作图，学生叙述作法.

让学生写出证明过程.

2.平分已知角

前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来画已知角的平分线呢？

分析：如图4，假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD.这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB.于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D.以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

已知：∠AOB如图5

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.

作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE.

分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C.

(3)作射线OC.

OC就是所求的射线.

证明：连结CD、CE，由作法可知

△ODC≌△OEC

∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等).

即∠AOC=∠BOC.

小结：

(1)1、2有一个不同之点，即2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，1所作的∠A'O'B'并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠A'O'B'作在∠AOB的近旁.

(2)作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹).

(3)只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形.如中要写出“∠A'O'B'就是所求的角.”

3.经过一点作已知直线的垂线

分两种情况来考虑：

(1)经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.

(2)经过已知直线外的一点作这条直线的垂线.

引导学生写出解题的全过程：已知、求作、作法、证明.关键地方和疑点要向学生解释清楚.

分析：现在要寻找“经过直线外一点作这条直线的垂线”的方法，能利用角平分线的作法吗？如图6，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OF，如果画出直线DE，那么∠AOB的平分线OF与直线DE垂直吗？为什么？

如果我们把D、E看成一条直线上的两点，那么点O就是这条直线外的一点，图6启发我们经过直线DE外一点O作这条直线的垂线的关键在于确定点F，你会确定点F吗？

①已知：直线AB和AB上一点C，如图7.

求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：证明引导学生写出.

②已知：直线AB和AB外一点C，如图8.

求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：引导学生写出，要向学生说明所取的点K必须要使它和C在AB的两旁，通过反例说明不这样作不行的道理.对教材中略去的证明要让学生补出来.提示：连结CD、CE、FD、FE，设CF与AB交于点O.首先证明△CDF≌△CEF，再证明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，从而得∠DOF=∠EOF=90°.

4.作线段的垂直平分线

先让学生理解线段垂直平分线的概念.

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线.

分析：在图6中OF是线段DE的垂直平分线吗？为什么？

想一想：确定线段DE的垂直平分线的关键是什么？

引导学生写出已知、求作、作法.参照1.让学生补上证明过程.以判定两个三角形全等的公理或推论为根据，做几何作图题的证明，一方面可以使学生确信作图的正确性；另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法.

因为直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.

小结：

作角平分线、垂线、中垂线从本质上讲是一致的：根据“SSS”公理，确定两点，从而确定所求直(射)线.

至此，共讲了5个，第一章中有一个“作一条线段等于已知线段”，本章又有4个.对于这些应该牢固掌握，灵活运用，因为它是几何作图的基础.反复练习5个，让学生熟悉解作图题的全过程，及时准确总结出几种常见几何作图语言即作图范句

例4、已知：线段

求作：，使

作法：1、作线段BC＝a

2、分别以点B、C为圆心，以为半径作弧，两弧交于点A

3、连结AB、AC

就是所求作的三角形

例5、已知两角和其中一角的对边，求作三角形

已知：

求作：

作法：1、作线段

2、在BC的同侧作

DE、EC交于点A。

为所求的三角形

证明：

让学生补充证明。

3、总结归纳，便于掌握

常用的作图语言：

过点、作线段或射线、直线；连结两点、；在线段或射线上截取＝；以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点；分别以点，点为圆心，以，的长为半径作弧，两弧相交于点；延长到点，使＝。

作图题说明

在作图中，有属于的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

(1)作线段＝；作∠＝∠；作平分∠；

过点作，垂足为点；作线段的垂直平分线；

4、课堂练习，巩固内容

(1)平分已知角

(2)作线段的垂直平分线

学生板书并讲解,教师点评。

5、布置作业：

a、书面作业P88＃1

b、上交作业P88＃3、9

板书设计：

教学目标

1.熟练运用尺规完成四种，并会写出已知、求作和作法.

2.培养学生准确的数学语言表达能力.

教学重点和难点

重点是掌握四种；难点是用准确精练的几何语言叙述作图过程.

教学过程设计

一、作图的预备知识

1.明确尺规作图和的含义.

教师应着重强调尺规作图与以前画图的区别，如解释以前角平分线，垂线、平行线的画法为什么不符合尺规作图的要求.

2.常用的作图语句的练习.

(1)如图1(a)，平面上有三点A，B，C，按下列要求完成作图：

①过点A，点B作直线AB(简称“作直线AB”)；

②作射线CA；

③延长BC到D，使CD=BC；

④在线段BA上截取BH=BC；

⑤连结两点H，C(简称“连结HC”).

答案见图1(b).

(2)如图1(c)，按下列要求完成作图：

①以点D为圆心，AD为半径作弧交DC于E；

②分别以点B，C为圆心，DC为半径作弧，两弧交于点F，G.

以上为七种基本语句.

二、思考并实现四种

1.作一个角等于已知角.

(1)教师带领学生分析标题，分清已知、求作，并用数学符号表示.注意“求作”中先写出作什么图形，再写出它所需满足的条件.

已知∠AOB(如图2(a)).求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.

(2)教师应启发学生思考作图的实现过程，注意以下几点：

①思路：利用全等三角形的判定方法来实现作图过程，将∠AOB放到△COD中(如图2(b))，利用“SAS”公理作出与△COD全等的△C′O′D′，从而得

到∠A′O′B′=∠AOB(如图2(c)).

②为简化作图过程，便于操作，可取△COD为等腰三角形，即在∠AOB的两边上截取OC=OD.更进一步地，可改造成尺规作图的语言，引导学生用简练的作图语句准确描述作图的实施过程.

(3)按照课本作法作图并证明.证明时要注意作图的作法中提供的边的条件.

以下几种都可仿照此步骤处理.

2.平分已知角.

已知：∠AOB(如图3).

求作：∠AOB内部的射线OC，使∠AOC=∠COB.

(1)教师重点分析作法是怎样想出来的.

①借鉴Ⅰ的思路，画出符合条件的示意图，分析如何构造以∠AOC，

∠COB为元素的两个全等三角形.

答：用“SSS”构造△ODF与△OEF，其中OD=OE，F在OC上，DF=EF.

②分析如何用作图实现以上过程：

要使OD=OE，以O为圆心任意长为半径作弧即可；要确定∠AOB上一点F，使DF=EF，只要分别以D，E为圆心，特定长a为半径作弧，注意为保证两弧能有

(2)让学生整理思路，按课本作法作图并证明.

练习1作平角∠AOB的平分线OC，并回答OC与直线AB有何关系？

练习2如图4，已知：钝角∠MCN.

①求作∠MCN的平分线CF；

②在学生画出图4的基础上，求证ED⊥CF，CF平分DE.

3.经过一点作已知直线的垂线.

已知直线AB和一点C，求作AB的垂线，使它过点C.

注意以下几点：

(1)分析标题时，引导学生自发讨论已知点C与已知直线AB的位置关系(两种情况).

(2)对于点C在直线AB上的情况，引导学生将新问题化归为已知情况——过直线AB上一点C平分平角∠ACB.

(3)当点C不在直线AB上时，引导学生由练习2的作法和证明结论来提炼出本题的作图方法：先确定D，E两点(注意书上选取K点的作用)，再确定F点(找F时所作弧的半径有特定条件).

4.作线段的垂直平分线.

重点分析4与练习2的关系.

分析图4中的结论：CF垂直平分DE，要作DE的垂直平分线CF，只需确

三、四种的变式和复合练习

例1用尺规按下列要求作图.(不写作法只画图)

(1)如图5，在∠AOD的内部作射线OB，使∠AOB=∠COD.

(2)作一个角的余角.

(3)把线段AB四等分.

(4)如图6，在钝角△ABC中，∠ABC为钝角.求作：

①△ABC中∠ACB的平分线CD；

②△ABC中BC边上的高AH；

③AC边的中垂线EF；

④AB边上的中线CG.

(5)如图7，已知直线AB和AB外一点C.求作：过C的直线CD∥AB.(提示：过C作直线l交AB于点E，在点C处作∠CEB的同位角(或内错角)，使它等

于∠CEB.)

四、师生共同小结

1.目前已学过的五种；

2.几种常用的作图语句；

3.尺规作图的基本步骤；

4.以后作图中再遇到五种时，不必再重复作图的详细过程，只需给出标题，如作线段的垂直平分线”.

五、作业(略)

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成.

1.为了分散难点，便于学生用语言准确叙述本节课的，教师设计了预备知识这一部分，目的是让学生熟悉所要用到的常用作图语句，以及让学生自己分析思考如何用这些语句来解决本节的.

2.的分析过程要教给学生分析的方法，逐层实现目的，并要揭示四个分别“怎样想出来”和“为什么这样想”的思维过程，变学生“被动接受”为“主动探索发现”，更好地理解和掌握四种.

3.教师根据课时情况，可将第三部分的的部分练习题(如例1(1)，(4)①)插到1，2后.

4.本课在2后面设计了两个练习，目的是既巩固2的各种变式情况下的作图，又为3，4启发思路.实质上，作角平分线与作垂线和中垂线的方法相类似.

教学目标：

1、知识目标：

要掌握尺规作图的方法及一般步骤；

掌握五种基本作图,明确尺规作图的意义。

2、能力目标：

通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力；

通过画图，培养学生的作图能力及动手能力.

3、情感目标：

体验数学语言的简洁严谨。

体会数学作图语言和图形的和谐统一。

教学重点：熟练掌握五个基本作图，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。

教学难点：作图语言的准确应用，作图的规范与准确。

教学用具：直尺，圆规

教学方法：讲练结合法

教学过程：

前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题.在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形.本节我们学习这种几何作图方法.

1、阅读教材，理解概念

学生阅读教材第一部分，并回答问题：

(1)尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图.

(学生使用的尺子都有刻度，这里告诉学生，直尺是用来画直线的，或者延长线段、射线成直线的.我们作图时，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它们去度量长度，就是这里所说的直尺)

(2)基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图.

一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段，这是一种基本作图，下面再介绍几种基本作图：

练习：作一条线段等于已知线段

2、讲解例题，熟悉语言

教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂。

前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等，进而达到角相等的目的.

1.作一个角等于已知角

分析：解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作。对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。

已知：AOB

求作：使＝AOB

分析：假设∠AOB已作出，且∠AOB=∠AOB，如图2，在OA、OB、OA、OB上取点C、D、C、D，使OC=OD=OC=OD，那么△COD≌△COD.

由此可知，要作出∠AOB，使∠AOB=∠AOB，只要作出△OCD，使OC=OC，OD=OD，CD=CD，这就是前面学过的“已知三边画三角形”.

作法：1、作射线

2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D

3、以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于

4、以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于

5、经过点作射线。就是所求的角

证明：连结CD、CD，由作法可知

△COD≌△COD(SSS)

∴∠COD=∠COD(全等三角形对应角相等).

即∠AOB=∠AOB.

说明：作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明.注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单.如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了.

练习：如图3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB.

首先要求作图工具——直尺(无刻度)、圆规.

然后引导学生分析题意，弄清已知是什么，求作是什么？画出已知条件(一个角)，写出已知、求作.在求作中先写出什么图形，再写使它合乎什么条件.

作法可让学生或教师作图，学生叙述作法.

让学生写出证明过程.

2.平分已知角

前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来画已知角的平分线呢？

分析：如图4，假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD.这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB.于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D.以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

已知：∠AOB如图5

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.

作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE.

分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C.

(3)作射线OC.

OC就是所求的射线.

证明：连结CD、CE，由作法可知

△ODC≌△OEC

∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等).

即∠AOC=∠BOC.

小结：

(1)基本作图1、2有一个不同之点，即基本作图2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，基本作图1所作的∠AOB并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠AOB作在∠AOB的近旁.

(2)作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹).

(3)只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形.如基本作图中要写出“∠AOB就是所求的角.”

3.经过一点作已知直线的垂线

分两种情况来考虑：

(1)经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.

(2)经过已知直线外的一点作这条直线的垂线.

引导学生写出解题的全过程：已知、求作、作法、证明.关键地方和疑点要向学生解释清楚.

分析：现在要寻找“经过直线外一点作这条直线的垂线”的方法，能利用角平分线的作法吗？如图6，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OF，如果画出直线DE，那么∠AOB的平分线OF与直线DE垂直吗？为什么？

如果我们把D、E看成一条直线上的两点，那么点O就是这条直线外的一点，图6启发我们经过直线DE外一点O作这条直线的垂线的关键在于确定点F，你会确定点F吗？

①已知：直线AB和AB上一点C，如图7.

求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：证明引导学生写出.

②已知：直线AB和AB外一点C，如图8.

求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：引导学生写出，要向学生说明所取的点K必须要使它和C在AB的两旁，通过反例说明不这样作不行的道理.对教材中略去的证明要让学生补出来.提示：连结CD、CE、FD、FE，设CF与AB交于点O.首先证明△CDF≌△CEF，再证明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，从而得∠DOF=∠EOF=90°.

4.作线段的垂直平分线

先让学生理解线段垂直平分线的概念.

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线.

分析：在图6中OF是线段DE的垂直平分线吗？为什么？

想一想：确定线段DE的垂直平分线的关键是什么？

引导学生写出已知、求作、作法.参照1.让学生补上证明过程.以判定两个三角形全等的公理或推论为根据，做几何作图题的证明，一方面可以使学生确信作图的正确性；另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法.

因为直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.

小结：

作角平分线、垂线、中垂线从本质上讲是一致的：根据“SSS”公理，确定两点，从而确定所求直(射)线.

至此，基本作图共讲了5个，第一章中有一个“作一条线段等于已知线段”，本章又有4个.对于这些基本作图应该牢固掌握，灵活运用，因为它是几何作图的基础.反复练习5个基本作图，让学生熟悉解作图题的全过程，及时准确总结出几种常见几何作图语言即作图范句

例4、已知：线段

求作：，使

作法：1、作线段BC＝a

2、分别以点B、C为圆心，以为半径作弧，两弧交于点A

3、连结AB、AC

就是所求作的三角形

例5、已知两角和其中一角的对边，求作三角形

已知：

求作：

作法：1、作线段

2、在BC的同侧作

DE、EC交于点A。

为所求的三角形

证明：

让学生补充证明。

3、总结归纳，便于掌握

常用的作图语言：

过点、作线段或射线、直线；连结两点、；在线段或射线上截取＝；以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点；分别以点，点为圆心，以，的长为半径作弧，两弧相交于点；延长到点，使＝。

作图题说明

在作图中，有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

(1)作线段＝；作∠＝∠；作平分∠；

过点作，垂足为点；作线段的垂直平分线；

4、课堂练习，巩固内容

(1)平分已知角

(2)作线段的垂直平分线

学生板书并讲解,教师点评。

5、布置作业：

a、书面作业P88＃1

b、上交作业P88＃3、9

板书设计：

以上就是关于文章作图的全部内容，再次感谢您的阅读，祝您工作顺利。